Déterminer la limite d’une suite géométrique

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Suites
Corpus Corpus 1
D&eacute terminer la limite d&rsquo une  suite  g&eacute om&eacute trique

FB_Bac_98616_MatT_LES_003

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Rappels de cours

Soit une suite g&eacute om&eacute trique de raison positive .

&thinsp Si, la limite de la suite est .

&thinsp Si, deux cas se pr&eacute sentent  :

  • si , la limite est
  • si , la limite est .

&thinsp Si, la suite &eacute tant constante, sa limite est &eacute gale au premier terme .

M&eacute thodes

Trouver la limite d&rsquo une suite g&eacute om&eacute trique

Dans chaque cas, donner la limite de la suite dont on donne le terme g&eacute n&eacute ral.

a.b.

c.d.

Conseils

Il n&rsquo y a que deux cas  : la limite est ou elle est infinie.

Seule la raison de la suite importe. Dans le cas o&ugrave la limite est infinie, le signe d&eacute pend du premier terme u0.

Solution

a. La raison est puisque .

La limite est donc 0.

b.  La raison est 0,4 donc la limite est 0.

c.  La raison est et le premier terme est 4 &gt   0.

Donc la limite est .

d.  La raison est 1,01 &gt   1 et le premier terme &ndash 0,01 &lt   0.

Donc la limite est .

Trouver un rang n &agrave partir duquel un&lt a

Soit une suite g&eacute om&eacute trique de raison et de premier terme .

D&eacute terminer le premier entier n &agrave partir duquel .

Conseils

Une suite g&eacute om&eacute trique de raison strictement comprise entre 0 et 1 a pour limite 0.

On cherche &agrave partir de quel rang la suite passe au-dessous d&rsquo un certain seuil (que l&rsquo on se fixe de fa&ccedil on arbitraire). On peut r&eacute soudre l&rsquo in&eacute quation &agrave l&rsquo aide de la fonction ln, ou bien utiliser la table de valeurs de la calculatrice.

Solution

Pour tout entier naturel n, .

Voici deux m&eacute thodes pour d&eacute terminer n selon que le cours sur le logarithme n&eacute p&eacute rien a &eacute t&eacute fait ou non.

&thinsp M&eacute thode 1 (logarithme n&eacute p&eacute rien connu)

, donc le premier entier &agrave partir duquel est .

&thinsp M&eacute thode 2 (logarithme n&eacute p&eacute rien inconnu)

&Agrave l&rsquo aide d&rsquo une calculatrice, on effectue plusieurs essais  : on prend au hasard n= 10 puis n = 20 pour calculer 0,75n. Ces valeurs ne convenant pas, on affine le choix de n.

On obtient  et .

Le premier entier &agrave partir duquel est donc .

remarque  Cet exercice est un classique et peut faire l&rsquo objet d&rsquo une &eacute tude &agrave l&rsquo aide d&rsquo un algorithme (&gt fiche32). On peut aussi proposer des exercices avec une suite g&eacute om&eacute trique de raison sup&eacute rieure &agrave 1, de limite infinie et demander le premier rang &agrave partir duquel on d&eacute passe un seuil donn&eacute .

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