Déterminer la limite d’une suite géométrique

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Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Suites
Corpus Corpus 1
Déterminer la limite d’une suite géométrique

FB_Bac_98616_MatT_LES_003

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Rappels de cours

Soit une suite géométrique de raison positive .

Si, la limite de la suite est .

Si, deux cas se présentent :

  • si , la limite est  ;
  • si , la limite est .

Si, la suite étant constante, sa limite est égale au premier terme .

Méthodes

Trouver la limite d’une suite géométrique

Dans chaque cas, donner la limite de la suite dont on donne le terme général.

a.b.

c.d.

Conseils

Il n’y a que deux cas : la limite est ou elle est infinie.

Seule la raison de la suite importe. Dans le cas où la limite est infinie, le signe dépend du premier terme u0.

Solution

a. La raison est puisque .

La limite est donc 0.

b. La raison est 0,4 donc la limite est 0.

c. La raison est et le premier terme est 4 > 0.

Donc la limite est .

d. La raison est 1,01 > 1 et le premier terme – 0,01 < 0.

Donc la limite est .

Trouver un rang n à partir duquel un< a

Soit une suite géométrique de raison et de premier terme .

Déterminer le premier entier n à partir duquel .

Conseils

Une suite géométrique de raison strictement comprise entre 0 et 1 a pour limite 0.

On cherche à partir de quel rang la suite passe au-dessous d’un certain seuil (que l’on se fixe de façon arbitraire). On peut résoudre l’inéquation à l’aide de la fonction ln, ou bien utiliser la table de valeurs de la calculatrice.

Solution

Pour tout entier naturel n, .

Voici deux méthodes pour déterminer n selon que le cours sur le logarithme népérien a été fait ou non.

Méthode 1 (logarithme népérien connu)

, donc le premier entier à partir duquel est .

Méthode 2 (logarithme népérien inconnu)

À l’aide d’une calculatrice, on effectue plusieurs essais : on prend au hasard n= 10 puis n = 20 pour calculer 0,75n. Ces valeurs ne convenant pas, on affine le choix de n.

On obtient  et .

Le premier entier à partir duquel est donc .

remarque Cet exercice est un classique et peut faire l’objet d’une étude à l’aide d’un algorithme (>fiche32). On peut aussi proposer des exercices avec une suite géométrique de raison supérieure à 1, de limite infinie et demander le premier rang à partir duquel on dépasse un seuil donné.

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