Déterminer la nature des sections de solides par un plan

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Fiches
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Représenter l'espace


Rappels de cours

1 Section d’un cube

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► La section d’un cube par un plan parallèle à une face est un carré dont le côté possède la même mesure que l’arête du cube .

► La section d’un cube par un plan parallèle à une arête est un rectangle.

2 Section d’un parallélépipède rectangle

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► La section d’un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) par un plan parallèle à une face est un rectangle dont les dimensions sont égales à celles de cette face.

► La section d’un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) par un plan parallèle à une arête est un rectangle .

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3 Section d’un cylindre de révolution

► La section d’un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe est un rectangle .

► La section d’un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe est un cercle (ou un disque) de même rayon que celui de la base du cylindre de révolution.

4 Sections d’une pyramide et d’un cône de révolution

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► La section d’une pyramide par un plan parallèle à la base est un polygone de même nature que la base de la pyramide. C’est une réduction du polygone de base .

► La section d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base est un cercle (ou un disque) qui est une réduction de la base.

Méthode

Étudier la section d’une pyramide par un plan parallèle à la base

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ABCD est un carré de centre O et de côté 5 cm. La droite (OK) est orthogonale au plan formé par le carré ABCD. KABCD est une pyramide notée 𝒫 telle que OK=2AB.

On coupe la pyramide 𝒫 par un plan parallèle à sa base carrée ABCD. Ce plan coupe les segments [KA], [KB], [KC], [KD] et [KO] respectivement en A′ , B′ ,C′ , D′ et O′ . On donne KO′ =3 cm.

a. Calculer la mesure exacte du volume V de 𝒫.

b. Quelle est la nature du quadrilatère A′ B′ C′ D′  ? En donner la dimension caractéristique, après avoir déterminé le coefficient de réduction.

c. Calculer la mesure exacte du volume V de la pyramide de sommet K et de base A′ B′ C′ D′ .

Solution

a. Nous avons V=13×airedelabase×hauteur.

La hauteur OK mesure 2AB, soit 2×5=10.

D’où V=13×52×10, soit V=2503cm3.

b. A′ B′ C′ D′ est un quadrilatère de même nature que ABCD, c’est donc un carré.

Le coefficient de réduction est k=KO′ KO=310.

Alors A′ B′ AB=k=310, donc A′ B′ =310×5, soit A′ B′ =1,5 cm.

c. V=k3×V donc V=(310)3×2503=2,25 cm3.