Déterminer la probabilité d’un événement

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Probabilités sur un ensemble fini


Rappels de cours

On considère une expérience aléatoire d’univers Ω.

1 Notion d’événement

 Un événement de cette expérience aléatoire est un sous-ensemble de l’univers Ω. Il peut être constitué d’aucune, d’une ou de plusieurs issues.

 Un événement constitué d’aucune issue est dit impossible. Il se note et se lit « ensemble vide ».

 Un événement constitué d’une seule issue est dit élémentaire.

 Un événement constitué de toutes les issues est dit certain. Un tel événement correspond à l’univers Ω.

2 Probabilité d’un événement

La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le constituent.

La probabilité d’un événement impossible est nulle : P()=0.

La probabilité d’un événement certain est égale à un : P(Ω)=1.

La probabilité d’un événement est comprise entre zéro et un.

Cas particulier : Si on est dans une situation d’équiprobabilité, alors la probabilité d’un événement est :

nombre d’issues qui constituent l’événementnombre d’issues qui constituent l’univers

Méthodes

Déterminer la probabilité d’un événement dans une situation d’équiprobabilité

On choisit au hasard une carte dans un jeu classique de trente-deux cartes et on s’intéresse à la valeur (7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as) et à la couleur (cœur, carreau, pique, trèfle) de la carte. Déterminer la probabilité des événements T : « la carte est un trèfle », R : « la carte est un roi » et D : « la carte est une dame de couleur rouge ».

Conseils

Précisez les issues qui constituent chaque événement et prenez en compte l’équiprobabilité de la situation.

 

Solution

L’événement T est constitué de huit issues : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi et as, de trèfle. L’événement R est constitué de quatre issues : roi de cœur, roi de carreau, roi de pique et roi de trèfle. L’événement D est constitué de deux issues : dame de cœur et dame de carreau.

L’univers de cette expérience aléatoire, choix d’une carte dans un jeu de 32 cartes, étant constitué de 32 issues équiprobables, on a :

P(T)=832=14, P(R)=432=18 et P(D)=232=116.

Déterminer la probabilité d’un événement dans une situation où il n’y a pas équiprobabilité

Après quelques parties endiablées de « 421 », Louis, Noé et Axel doutent d’un des trois dés utilisés. L’observation du chiffre obtenu sur la face supérieure de ce dé sur un grand nombre de lancers confirme leurs doutes. Elle les conduit, par la loi des grands nombres, à proposer le modèle suivant pour le lancer de ce dé :

Issue

1

2

3

4

5

6

Probabilité

0,05

0,35

0,10

0,20

0,275

On lance ce dé. Déterminer la probabilité d’obtenir le chiffre 1, puis celle des événements I : « le chiffre obtenu est impair » et T : « le chiffre obtenu est inférieur à trois ».

Conseils

Précisez les issues qui constituent chaque événement puis additionnez les probabilités de chacune de ces issues.

 

Solution

La somme des probabilités des issues étant égale à un, la probabilité d’obtenir le chiffre 1 est :

1(0,05+0,35+0,10+0,20+0,275)=0,025.

L’événement I étant constitué des issues 1, 3 et 5, on a :

P(I) = P({1}) + P({3}) + P({5}) = 0,025 + 0,35 + 0,20 = 0,575.

L’événement T étant constitué des issues 1 et 2, on a :

P(T) = P({1}) + P({2}) = 0,025 +  0,05 = 0,075.