Déterminer les éventuels extremums d’une fonction

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Fonctions de référence. Etudes de fonctions


Rappels de cours

Extremums d’une fonction sur un intervalle

À noter ! 
Un extremum, c’est-à-dire un maximum ou un minimum, lorsqu’il existe, peut être atteint en plusieurs valeurs.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I.

► f admet un maximum en a sur I si, pour tout réel x de I, f(x)f(a). Ce maximum est alors égal à f(a).

Autrement dit, le maximum d’une fonction sur un intervalle, s’il existe, est la plus grande valeur atteinte par cette fonction.

► f admet un minimum en a sur I si, pour tout réel x de I, f(x)f(a). Ce minimum est alors égal à f(a).

Autrement dit, le minimum d’une fonction sur un intervalle, s’il existe, est la plus petite valeur atteinte par cette fonction.

exemple Soit f(x)=x2+1 avec x.

Pour tout réel x, f(x)0+1=1=f(0). La fonction f admet donc un minimum sur en a=0, minimum qui est égal à 1.

Méthodes

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Déterminer graphiquement un extremum

On donne ci-contre la courbe représentative d’une fonctionf.

Déterminer graphiquement :

1. le maximum de f

sur [3 ; 5,5] ;

2. le minimum de f

sur [– 2 ; 4] ;

3. le maximum de f

sur [0 ; 3,5] ;

4. le minimum de f

sur [3 ; 5].

Conseils

Déterminez selon les cas le(s) point(s) le plus haut ou le plus bas de la courbe représentative de f sur les intervalles indiqués.

 

Solution

1. Le maximum de f sur [3 ; 5,5] est 0 ; il est atteint en x=4 et x=5,5.

2. Le minimum de f sur [– 2 ; 4] est – 2 ; il est atteint en x=2.

3. Le maximum de f sur [0 ; 3,5] est – 0,5 ; il est atteint en x=3,5.

4. Le minimum de f sur [3 ; 5] est – 1,5 ; il est atteint en x=3.

Déterminer algébriquement un extremum

Soit g la fonction définie sur par g(x)=2x2+4x1.

Démontrer que – 3 est le minimum de g sur .

Conseils

Étudiez le signe de la différence g(x)( 3) lorsque x.

 

Solution

Pour tout réel x :

g(x)( 3)=2x2+4x1+3=2x2+4x+2=2(x2+2x+1)=2(x+1)2.

Par conséquent g(x)( 3)0 soit g(x)3.

Comme g(x)( 3)=2(x+1)2, on remarque aussi que g( 1)( 3)=2×( 1+1)2=0 soit encore g( 1)= 3.

Finalement, pour tout réel x, g(x)g( 1)= 3.

3 est donc le minimum de g sur , atteint en x=1.

Trouver des extremums dans un tableau de variations

02909_F11_tab_01

On donne ci-contre le tableau de variations d’une fonction f.

Quel est le maximum de f sur [4;0] ?

Quel est le minimum de f sur [1;3] ?

Conseils

Repérez dans le tableau la plus grande et la plus petite valeur de f(x) sur les intervalles indiqués.

 

Solution

Le maximum de f sur [4;0] est 7 ; il est atteint en x=1.

Le minimum de f sur [1;3] est 3 ; il est atteint en x=0.