Déterminer une équation cartésienne d’une droite, d’un cercle

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Fiches
Classe(s) : 1re S
Corpus Corpus 1
Déterminer une équation cartésienne d’une droite, d’un cercle

FB_Bac_99063_Mat1_S_034

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Rappels de cours

Le plan est muni d’un repère orthonormé.

1 Vecteur normal à une droite

Un vecteur normal à une droite d du plan est un vecteur non nul qui est orthogonal à un vecteur directeur de d. (>Fiche24)

2 Équations cartésiennes d’une droite

 Une droite de vecteur normal admet une équation cartésienne de la forme est un réel à déterminer.

À noter ! Toute droite admet une ­infinité d’équations cartésiennes.

 L’ensemble des points du plan dont les coordonnées vérifient l’équation est une droite de vecteur normal

3 Équations cartésiennes d’un cercle

 Le cercle 𝒞 de centre et de rayon admet pour équation cartésienne :

 Soit 𝒞 un cercle de diamètre

Un point du plan appartient à 𝒞 si et seulement si .

Méthodes

Déterminer une équation cartésienne de droite avec un vecteur normal

Déterminer une équation cartésienne de la droite d de vecteur normal et passant par le point

Conseils

Écrivez le début de l’équation de d avec le vecteur normal puis déterminez le paramètre restant à l’aide des coordonnées de A.

Solution

est un vecteur normal à la droite d donc une équation cartésienne de d est est un réel à déterminer.

Comme appartient à la droite d, on a ce qui donne . Finalement,

Une équation cartésienne de d est

Identifier un vecteur normal à une droite

Soient les droites et .

Démontrer que et sont perpendiculaires.

Conseils

Identifiez un vecteur normal pour chacune des droites et utilisez le produit scalaire pour conclure.

Solution

À savoir ! Deux droites sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

Un vecteur normal à est

Un vecteur normal à est

.

Les vecteurs et sont orthogonaux.

Les droites et sont donc perpendiculaires.

Déterminer une équation de cercle

Déterminer une équation cartésienne du cercle 𝒞 de diamètre avec et Préciser les coordonnées du centre et le rayon du cercle.

Conseils

Utilisez la caractérisation d’un cercle à l’aide du produit scalaire et transformez l’équation obtenue pour identifier le centre et le rayon.

Solution

appartient à 𝒞 si et seulement si

Comme et , on a :

Le cercle 𝒞 a pour équation cartésienne

.

Son centre est le point , son rayon est .

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