En bref f désigne la fonction affine définie par f(x) = ax + b où a et b sont deux nombres donnés. Déterminer la fonction f, c'est déterminer la valeur du nombre a et celle du nombre b. Deux méthodes sont présentées ici, l'une graphique et l'autre calculatoire.

IDétermination graphique d'une fonction affine

Soit $D$ la droite représentant la fonction affine f définie par f(x) = ax + b.

1 Comment déterminer graphiquement le nombre a ?

Pour déterminer le nombre a, on repère sur la droite $D$ deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B). On a alors :

$a=\frac{y_A–y_B}{x_A–x_B}=\frac{\text{différence des ordonnées}}{\text{différence des abscisses}}$

2 Comment déterminer graphiquement le nombre b ?

Le nombre b est l'ordonnée du point d'intersection de la droite $D$ et de l'axe des ordonnées.

IIDétermination d'une fonction affine par le calcul

f désigne la fonction affine définie par f(x) = ax + b où a et b sont deux nombres donnés.

1 Comment déterminer le nombre a par le calcul ?

Pour déterminer le nombre a par le calcul, il faut connaître l'image de deux nombres x₁ et x₂ par f. On a alors :

$a=\frac{f\left(x_1\right)–f\left(x_2\right)}{x_1–x_2}=\frac{\text{différence des images}}{\text{différence des antécédents}}$

2 Comment déterminer le nombre b par le calcul ?

Pour déterminer le nombre b, il faut déjà connaître le nombre a et l'image d'un nombre x₁ par f.

Exemple : f est une fonction affine de coefficient a = 2, et telle que f(3) = 4.

Comme f est une fonction affine de coefficient 2, alors f(x) = 2x + b.

Or f(3) = 4, donc 2 × 3 + b = 4. On obtient b = 4 − 6 = −2.

La fonction f est définie par f(x) = 2x − 2.

Méthode

Déterminer une fonction affine sur un graphique

Sur le graphique ci-contre, la droite bleue représente la fonction affine f, la droite rouge représente la fonction g et la droite verte représente la fonction h.

1 Déterminer le coefficient a de la fonction f.

2 Déterminer l'expression de g(x) en fonction de x.

3 La fonction h est-­elle linéaire ? Justifier. Déterminer l'expression de h(x) en fonction de x.

Conseils

1 Place sur la droite bleue deux points dont les coordonnées sont entières. Utilise la formule $a=\frac{f\left(x_1\right)–f\left(x_2\right)}{x_1–x_2}$.

2 On a g(x) = ax + b. Calcule le coefficient a comme précédemment. Pour b, cherche l'ordonnée du point d'intersection de la droite rouge avec l'axe des ordonnées.

3 La droite verte passe par l'origine du repère. Calcule le coefficient a.

Solution

1 Les points B(0 ; 4) et C(2 ; −2) appartiennent à la droite bleue.

On a $a=\frac{4-\left(-2\right)}{0-2}=\frac{4+2}{-2}=-3$. Le coefficient a de la fonction f est égal à −3.

2 Les points D(0 ; −1) et E(3 ; 2) appartiennent à la droite rouge.

On a $\frac{-1-2}{0-3}=\frac{-3}{-3}=1$. La droite rouge coupe l'axe des ordonnées au point D(0 ; −1), donc b = −1.

L'expression de g(x) en fonction de x est g(x) = x − 1.

3 La droite verte passe par l'origine du repère, donc la fonction h est linéaire.

Les points O(0 ; 0) et F (1 ; 3) appartiennent à la droite verte.

On a $a=\frac{3-0}{1-0}=3$. Comme h est une fonction linéaire, alors b = 0.

L'expression de h(x) est donc h(x) = 3x.