Pour mener astucieusement un calcul littéral, il faut savoir développer ou, au contraire, factoriser, en utilisant parfois les identités remarquables.
I Développer et factoriser
1 Développer
Développer un produit de facteurs comportant des parenthèses ou des crochets, c'est le transformer en une somme de termes.
Pour cela, on applique la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et à la soustraction.
De même : (a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd
(a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd
(a – b)(c – d) = ac – ad – bc + bd
2 Factoriser
Factoriser une expression numérique ou littérale, c'est l'écrire sous la forme d'un produit de facteurs. Pour cela, il faut repérer l'expression commune qui sera mise en facteur.
Exemples :
• 5x – 7x. Le facteur commun est ici x. Donc 5x – 7x = (5 – 7)x = –2x.
• 3(x – 1) + x(x – 1). Le facteur commun est ici (x – 1).
Donc : 3(x – 1) + x(x – 1) = (3 + x)(x – 1).
II Identités remarquables
Les identités remarquables servent à factoriser ou développer.
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Forme factorisée |
Forme développée |
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(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
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(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 |
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(a – b)(a + b) = a2 – b2 |
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À noter
(–b)2 = (–b) × (–b) = b2 (nombre positif) et –b2 = –(b × b) (nombre négatif).
1 Factoriser en cherchant un facteur commun
Factoriser :
a. (x + 3)(5 – x) + (2x + 1)(x + 3) b. (1 – 2x)(7 – 9x) + (4x – 2)2
conseils
a. Le facteur commun est évidemment (x + 3).
b. On remarque que 4x – 2 = 2(2x – 1) et 1 – 2x = –(2x – 1).
solution
a.
b.
À noter
(4x – 2)2 = 4(2x – 1)2 et non 2(2x – 1)2.
2 Factoriser à l'aide des identités remarquables
Factoriser :
a. 9x2 + 12x + 4 b. (2 – x)2 – 11
conseils
Retrouvez des identités remarquables écrites sous forme développée.
Pour l'expression b., rappelez-vous que, pour un nombre x ≥ 0, .
solution
a. 9x2 + 12x + 4 = (3x)2 + 2 × 3x × 2 + 22
On peut donc poser a = 3x et b = 2 et utiliser a2 + 2ab + b2 = (a + b)2.
La factorisation donne alors 9x2 + 12x + 4 = (3x + 2)2.
b.
On peut donc poser a = 2 – x et et utiliser a2 – b2 = (a – b)(a + b).
La factorisation donne alors.