Développer, factoriser une expression

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Expressions algébriques. Résolution d'équations et d'inéquations


Rappels de cours

1 La distributivité

Pour tous nombres réels a, b, c, d et k :

 Distributivité simple : k×(a+b)=k×a+k×b

 Double distributivité :

(a+b)×(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d

exemples La forme factorisée de g(x)=2x25x est :

g(x)=2x×x5x=x×2xx×5=x×(2x5).

La forme développée de f(x)=(2x+5)(x3) est :

f(x)=(2x+5)(x+(3))=2x×x+2x×(3)+5×x+5×(3)=2x26x+5x15=2x2x15.

2 Les identités remarquables

Pour tous nombres réels a et b :

(a+b)2=a2+2ab+b2

(ab)2=a22ab+b2(ab)(a+b)=a2b2

exemple Les formes développées de (x+5)2 et (2x3)2 sont :(x+5)2=x2+2×x×5+52=x2+10x+25. (2x3)2=(2x)22×2x×3+32=4x212x+9.

exemple Les formes factorisées de x214x+49 et 4x29 sont :

x214x+49=x22×x×7+72=(x7)2.

4x29=(2x)232=(2x3)(2x+3).

Méthodes

Factoriser une expression

Soit f(x)=(7x1)2(4x3)2+5(3x+2)2. Factoriser f(x).

Conseils

Factorisez les deux premiers termes à l’aide de l’identité remarquable (ab)(a+b)=a2b2.

Identifiez alors un facteur commun pour conclure.

 

Solution

La différence des deux premiers termes est une différence de deux carrés :

f(x)=(7x1)2(4x3)2+5(3x+2)2=[(7x1)(4x3)]×[(7x1)+(4x3)]+5(3x+2)2=[7x14x+3]×[7x1+4x3]+5(3x+2)2=(3x+2)×(11x4)+5(3x+2)2.

Un facteur commun apparaît : (3x+2).

f(x)=(3x+2)×(11x4)+5(3x+2)×(3x+2)=(3x+2)×[(11x4)+5(3x+2)]=(3x+2)×(11x4+15x+10)=(3x+2)×(26x+6).

Résoudre une équation à l’aide d’un produit nul

Résoudre l’équation (3x1)(x+4)=4.

Conseils

Développez le membre de gauche et ramenez-vous à un produit nul.

 

Solution

(3x1)(x+4)=43x2+12xx4=43x2+11x=0x×(3x+11)=0.

Nous avons un produit nul :

x×(3x+11)=0x=0  ou  3x+11=0 x=0  ou  x=113.

Les solutions de l’équation sont ainsi 0 et 113.

Adapter une expression pour calculer

Factoriser f(x)=(2x5)2+6(2x5)+9 et calculer f(1).

Conseils

Utilisez l’identité remarquable (a+b)2=a2+2ab+b2.

 

Solution

En remplaçant (2x5) par a et 3 par b, l’expression s’écrit a2+2ab+b2 ; f(x) est donc le carré de a+b et f(x)=[(2x5)+3]2=(2x2)2.

Nous avons alors f(1)=(2×12)2=02=0.