Développer puis réduire des expressions

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Fiches
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser le calcul littéral


Rappels de cours

1 Développer une expression

Développer, c’est transformer un produit en somme.

Pour cela, on utilise soit la propriété de distributivité soit les identités remarquables .

2 Propriété de distributivité

La multiplication est distributive par rapport à l’addition, c’est-à-dire que, quels que soient les nombres a, b, c et d, on a :

a×(b+c)=a×b+a×c 

(a+b)×(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d

Méthodes

Développer à l’aide de la propriété de distributivité

Développer puis réduire les expressions suivantes :

A=5x(2x4)

B=(2x5)(4x+3)

C=(x2x+1)(x+1)

conseils

Pour développer, appliquez la distributivité.

Pour réduire, effectuez les sommes algébriques de même nature.

Par exemple : 5x22x2=(52)x2=3x2.

 

Solution

A=5x×2x5x×4

932402-Eqn338b

B=2x×(4x)+2x×35×(4x)5×3, soit B=8x2+26x15.

C=x2×x+x2×1x×xx×1+x×1+1×1

=x3+x2x2x+x+1,

soit C=x3+1.

Développer à l’aide des identités remarquables

Développer puis réduire les expressions suivantes :

A=2(2x+3)2

B=(1+3x)(13x)

C=(34x)25x(34x)

conseils

Appliquez le développement d’une identité remarquable judicieusement choisie.

Solution

Utilisons l’identité remarquable (a+b)2=a2+2ab+b2

avec a=2x et b=3 :

A=2[(2x)2+2×2x×3+32]

A=2(4x2+12x+9) ou encore A=8x2+24x+18.

Utilisons l’identité remarquable (a+b)×(ab)=a2b2 avec a=1 et b=3x :

B=12(3x)2, soit B=19x2.

Pour développer (34x)2, utilisons l’identité remarquable (ab)2=a22ab+b2 avec a = 3 et b = 4x ; pour développer 5x(34x), utilisons la distributivité :

C=(924x+16x2)(15x20x2)

C=924x+16x215x+20x2

ou encore C=36x239x+9.

Développer pour mieux calculer mentalement

1. Développer puis réduire l’expression E=(n+1)2(n1)2.

2. En déduire, sans calculatrice, le nombre F=512492.

Solution

1. Utilisons l’identité remarquable a2b2=(a+b)(ab) avec a = n + 1 et b = n – 1 :

E=[(n+1)+(n1)][(n+1)(n1)],

soit E=[n+1+n1][n+1n+1] ou encore E=4n.

Nous avons démontré que E=(n+1)2(n1)2=4n.

2. Remplaçons n par 50 dans l’expression E.

Alors : (50+1)2(501)2=4×50.

Le nombre F est égal à 200.