Dipôle RC : charge d’un condensateur

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Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Dynamique d’un système électrique


Dans un circuit RC série, la charge du condensateur est régie par une équation différentielle du 1er ordre. Le temps caractéristique de la charge est égal au produit de la résistance par la capacité.

I Modélisation de la charge d’un condensateur

L’association en série d’un conducteur ohmique de résistance R et d’un condensateur de capacité C constitue un dipôle RC.

À = 0, on ferme l’interrupteur K afin de connecter le dipôle RC à une source idéale de tension E. La tension uAB croît alors jusqu’à la valeur E. On dit que le condensateur se charge et on parle d’un régime transitoire.

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Le régime est stationnaire lorsque la charge du condensateur n’évolue plus.

Pour t > 0, la loi des mailles et la loi d’Ohm permettent d’écrire : Ri+uAB=E. Par ailleurs, en combinant i=dqAdt et qA = CuAB, on obtient, sachant que C est une constante : i=CduABdt. En reportant dans Ri+uAB=E, on obtient l’équation différentielle du 1er ordre : RCduABdt+uAB=E.

L’équation différentielle a pour solution :

uABt=E1etτ avec : τ=RC R en Ω ; C en F ; τ en s.

Au bout du temps caractéristique τ, appelé constante de temps du dipôle RC, le condensateur est chargé à 63 % : uABτ= E1e1=0,63E.

À noter

La signification de τ=RC est à rapprocher de celle du temps caractéristique τ=1λ utilisé en radioactivité.

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II Courant de charge

La relation i= CduABdt avec uABt=E1etτ donne : it=CEτetτ=ERetτ. Le courant de charge du condensateur décroît exponentiellement.

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Méthode

Exploiter une courbe de charge d’un condensateur

On réalise le montage suivant, puis à la date t = 0, on ferme l’interrupteur K en déclenchant simultanément un chronomètre.

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On relève la valeur de la tension uAB à différentes dates :

Tableau de 2 lignes, 10 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : t (s); 0; 5; 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; Ligne 2 : uAB (V); 0; 1,0; 1,8; 3,0; 3,7; 4,2; 4,5; 4,7; 4,8;

En déduire la valeur de la capacité C du condensateur sachant que R = 1,0 × 104 Ω.

Conseils

Tracez la courbe représentative de uAB = f(t) et la droite d’équation uAB = E.

Pour déterminer graphiquement la valeur de la constante de temps τ du dipôle RC, il y a deux méthodes.

Méthode 1. Tracez la tangente à l’origine qui coupe la droite d’équation uAB = E au point d’abscisse τ.

Méthode 2. Repérez le point d’ordonnée uAB = 0,63E qui a pour abscisse τ. Enfin, calculez C en utilisant l’expression de τ.

Solution

Par les deux méthodes, on obtient τ = 22 s.

L’expression de la constante de temps τ = RC donne :

C=τR=221,0×104=2,2×103F soit C = 2,2 mF.

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