Dipôle RC : décharge d’un condensateur

Merci !

Fiches
Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Dynamique d’un système électrique

L’équation différentielle du 1er ordre régissant la décharge du condensateur diffère de celle de la charge, mais le temps caractéristique (ou constante de temps) est identique.

I Modélisation de la décharge d’un condensateur

À = 0, les bornes d’un condensateur préalablement chargé (uAB(0) = E > 0) sont reliées par l’intermédiaire d’un conducteur ohmique de résistance R. On constate que la tension uAB décroît de E jusqu’à 0. On dit que le condensateur se décharge.

06466_C14_15

Pour t > 0, la loi des mailles et la loi d’Ohm permettent d’écrire : Ri+uAB=0.

À noter

Le courant et les tensions sont orientés de la même manière que pour l’étude de la charge du condensateur.

En combinant avec la relation i=CduABdt on obtient l’équation différentielle du premier ordre qui régit l’évolution de la tension aux bornes du conden­sateur au cours de sa décharge : RCduABdt+uAB=0 ou bien duABdt+uABτ=0.

L’équation différentielle admet pour solution : uABt=Eetτ. Il s’agit d’une loi exponentielle décroissante analogue à la loi de décroissance radioactive. Au bout du temps caractéristique τ : uABτ= Ee1=0,37E, c’est-à-dire que la charge du condensateur a chuté de 63 %.

06466_C14_16

II Courant de décharge

La relation Ri+uAB=0 conduit à l’expression de l’intensité du courant de décharge : i=uABR donc : it= ERetτ. En valeur absolue, l’intensité du courant de décharge décroît exponen­tiellement.

On a i < 0 car le sens réel du courant de décharge est l’opposé de celui du courant de charge.

06466_C14_17

Méthode

Exploiter une courbe de décharge d’un condensateur

Un condensateur de capacité C, initialement chargé, est relié à un dipôle ohmique de résistance R = 100 kΩ. L’évolution temporelle de la charge qA de l’armature A au cours de la décharge du condensateur est fournie sur le graphe suivant.

06466_C14_18

a. Déterminer graphiquement la valeur de l’intensité électrique i à la date t = 5 s.

b. Déterminer la valeur de la charge qA et de la tension uAB à t = 5 s.

c. En déduire la valeur de la capacité C.

Conseils

a. Faites le lien entre la définition de i et la tangente tracée sur le graphique.

b. Pensez à la loi des mailles et la loi d’Ohm pour déterminer la valeur de uAB.

c. Utilisez la relation entre qA et uAB.

Solution

a. L’intensité du courant s’exprime par une dérivée : i=dqAdt. Graphiquement, cette dérivée est le coefficient directeur de la tangente à la courbe qA(t). La tangente à la courbe au point d’abscisse t = 5 s passe par les points (5 s ; 6 mC) et (15 s ; 0), donc l’intensité à cette date est :

i=6×1030515=6×104A soit − 0,6 mA.

À noter

i < 0 ; c’est-à-dire que le courant de décharge est de sens opposé au sens choisi sur le schéma.

b. À t = 5 s, la charge de l’armature A vaut qA = 6 × 103 C. La loi des mailles et la loi d’Ohm permettent d’écrire : Ri+uAB=0 donc uAB=Ri soit : uAB=105×6×104=60V.

c. La capacité vaut donc : C=qAuAB=6×10360=104F ou 100 µF.