L’équation différentielle du 1^er ordre régissant la décharge du condensateur diffère de celle de la charge, mais le temps caractéristique (ou constante de temps) est identique.

IModélisation de la décharge d’un condensateur

À t = 0, les bornes d’un condensateur préalablement chargé (u_AB(0) = E > 0) sont reliées par l’intermédiaire d’un conducteur ohmique de résistance R. On constate que la tension u_AB décroît de E jusqu’à 0. On dit que le condensateur se décharge.

Pour t > 0, la loi des mailles et la loi d’Ohm permettent d’écrire : $Ri+u_{\text{AB}}=0$.

En combinant avec la relation $i=C\frac{\text{d}{u}_{\text{AB}}}{\text{d}t}$ on obtient l’équation différentielle du premier ordre qui régit l’évolution de la tension aux bornes du conden­sateur au cours de sa décharge : $RC\frac{\text{d}{u}_{\text{AB}}}{\text{d}t}+u_{\text{AB}}=0$ ou bien $\frac{\text{d}{u}_{\text{AB}}}{\text{d}t}+\frac{u_{\text{AB}}}{\text{τ}}=0$.

L’équation différentielle admet pour solution : $u_{\text{AB}}\left(t\right)=E{\text{e}}^{-\frac{t}{\text{τ}}}$. Il s’agit d’une loi exponentielle décroissante analogue à la loi de décroissance radioactive. Au bout du temps caractéristique τ : $u_{\text{AB}}\left(\text{τ}\right)= E{\text{e}}^{-1}=\mathrm{0,37}E$, c’est-à-dire que la charge du condensateur a chuté de 63 %.

IICourant de décharge

La relation $Ri+u_{\text{AB}}=0$ conduit à l’expression de l’intensité du courant de décharge : $i=-\frac{u_{\text{AB}}}{R}$ donc : $i\left(t\right)= -\frac{E}{R}{\text{e}}^{-\frac{t}{\text{τ}}}$. En valeur absolue, l’intensité du courant de décharge décroît exponen­tiellement.

On a i < 0 car le sens réel du courant de décharge est l’opposé de celui du courant de charge.

Méthode

Exploiter une courbe de décharge d’un condensateur

Un condensateur de capacité C, initialement chargé, est relié à un dipôle ohmique de résistance R = 100 kΩ. L’évolution temporelle de la charge q_A de l’armature A au cours de la décharge du condensateur est fournie sur le graphe suivant.

a. Déterminer graphiquement la valeur de l’intensité électrique i à la date t = 5 s.

b. Déterminer la valeur de la charge q_A et de la tension u_AB à t = 5 s.

c. En déduire la valeur de la capacité C.

Conseils

a. Faites le lien entre la définition de i et la tangente tracée sur le graphique.

b. Pensez à la loi des mailles et la loi d’Ohm pour déterminer la valeur de u_AB.

c. Utilisez la relation entre q_A et u_AB.

Solution

a. L’intensité du courant s’exprime par une dérivée : $i=\frac{\text{d}{q}_A}{\text{d}t}$. Graphiquement, cette dérivée est le coefficient directeur de la tangente à la courbe q_A(t). La tangente à la courbe au point d’abscisse t = 5 s passe par les points (5 s ; 6 mC) et (15 s ; 0), donc l’intensité à cette date est :

$i=\frac{6\times {10}^{-3}-0}{5-15}=-6\times {10}^{-4}\text{A}$ soit − 0,6 mA.

À noter

i < 0 ; c’est-à-dire que le courant de décharge est de sens opposé au sens choisi sur le schéma.

b. À t = 5 s, la charge de l’armature A vaut q_A = 6 × 10⁻³ C. La loi des mailles et la loi d’Ohm permettent d’écrire : $Ri+u_{\text{AB}}=0$ donc $u_{\text{AB}}=-Ri$ soit : $u_{\text{AB}}=-{\text{10}}^5\times \left(-6\times {10}^{-4}\right)=\text{60}\text{V}$.

c. La capacité vaut donc : $C=\frac{q_{\text{A}}}{u_{\text{AB}}}=\frac{6\times {\text{10}}^{-3}}{\text{60}}={\text{10}}^{-4}\text{F}$ ou 100 µF.