Distance et valeur absolue

Merci !

Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Manipuler les nombres réels


Lorsqu’on place des nombres sur la droite réelle, les points ­obtenus sont situés à une certaine distance de l’origine. On exprime ­cette distance grâce à un nouvel outil : la valeur absolue.

I Valeur absolue

Soit a et b deux nombres. Plaçons sur la droite réelle d’origine O les points A et B d’abscisses respectives a et b. La distance AB se note |b a|, elle se lit « valeur absolue de b – a ».

05294_C04_01

La distance entre deux nombres a et b se note d(a ; b).

Par abus, on dit que la valeur absolue d’un nombre est sa distance à 0 sur la droite réelle : AO = OA = |a| = |–a|.

Propriétés

• |b a| est un nombre positif.  • Comme AB = BA, |b a| = |a – b|.

II Intervalles centrés en un point

Soit A un point de la droite réelle d’abscisse a et r un nombre strictement positif. L’ensemble des abscisses x des points M dont la distance à A est inférieure ou égale à r vérifient l’inégalité : |x a|  r. Ils forment l’intervalle fermé de centre a et de rayon r (hachuré en rouge sur la figure).

|x a| r  x [a – r ; a + r]  AM r d(x ; a) r

05294_C04_02

Tout nombre de cet intervalle s’appelle une approximation de a avec la précision r.

L’ensemble des points de la droite réelle dont l’abscisse x vérifie |x a| > r n’est pas un intervalle.

|x a| > r  d(x ; a) > r x ]– ; a r[]a + r ; +[ AM > r.

05294_C04_03

Méthode

1 Résoudre des équations et des inéquations comportant des valeurs absolues

conseils

a. Transformez x + 4 en une différence x ... .

b. Transformez x + 2 en une différence x – ... .

Résoudre les équations et inéquations suivantes et représenter les solutions sur la droite réelle.

a. |x + 4| = 3 b. |x + 2| 3

solution

a. Comme x + 4 = x – (–4), |x + 4| = 3 |x – (–4)| = 3. On cherche donc les nombres x dont la distance à –4 soit égale à 3. Ce sont les nombres –7 et – 1.

05294_C04_04

b. Comme x + 2 = x – (–2), |x + 2| ⩽ 3 |x – (–2)| ⩽ 3. On cherche donc les nombres x dont la distance à –2 est inférieure ou égale à 3. Il s’agit par ­définition de l’intervalle fermé de centre –2 et de rayon 3 c’est-à-dire [–5 ; 1].

05294_C04_06

2 Savoir si un nombre appartient à un intervalle en Python

Quelle est la mission du programme suivant ?

PB_Bac_05294_Mat2_TT_p085-118_C04_Algo_1

solution

Le programme demande à l’utilisateur de saisir un nombre nommé x. Il teste son appartenance à l’intervalle [π – 1 ; π + 1] selon la valeur de |x π| puis renvoie une réponse : si |x – π| 1 alors x [π – 1 ; π + 1] et sinon x  [π – 1 ; π + 1].

Annabac est gratuit en septembre !

Inscris-toi pour en profiter.