Diviseurs et multiples

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Nombres rationnels
 

Lorsqu’on récite la table de multiplication par 4, par exemple, les résultats que l’on obtient sont des multiples de 4. Le nombre 4 est un diviseur de chacun des résultats trouvés.

I Diviseurs d’un entier naturel

Soit d et n deux entiers naturels, d est un diviseur de n si et seulement si le reste de la division euclidienne de n par d est égal à 0.

On peut aussi dire que d est un diviseur de n si et seulement si il existe un entier q (le quotient) tel que n = dq. On dit alors que d et q sont des diviseurs associés.

Exemple : 7 est un diviseur de 56 car 56 = 7 × 8 + 0. Ici, le quotient est 8. Et 7 et 8 sont des diviseurs associés de 56.

Mais 7 n’est pas un diviseur de 57 car 57 = 7 × 8 + 1.

Propriétés. Le nombre 1 est un diviseur de tout entier naturel n car n = 1 × n. Ici le quotient est n.

Tout entier naturel d est un diviseur de 0 car 0 = d × 0 (le quotient est 0).

Tout entier naturel n est un diviseur de lui-même car n = n × 1.

Un diviseur de n autre que 1 et n s’appelle un diviseur propre de n.

Un diviseur commun à deux entiers naturels est un diviseur de leur somme.

Démonstration : Supposons que d soit un diviseur de deux entiers n et n. Alors il existe des entiers q et q tels que n = dq et n = dq. Donc n + n = dq + dq = d(q + q), soit n + n = dQ Q = q + q. Par conséquent d est bien un diviseur de n + n.

Pour savoir si d est un diviseur de n on peut utiliser les critères de divisibilité.

II Multiples d’un entier naturel

Soit m et n deux entiers naturels. m est un multiple de n si et seulement si n est un diviseur de m.

Autrement dit, m est un multiple de n s’il existe un entier naturel q tel que m = nq.

Exemple : 48 est un multiple de 6 car 46 = 6 × 8 (ici, q = 8). 48 est donc aussi un multiple de 8.

Propriétés. Le nombre 1 est multiple de lui-même, et c’est tout, car 1 = 1 × 1.

Le nombre 0 est multiple de tout entier naturel n car 0 = n × 0.

Tout entier naturel est multiple de lui-même car n = n × 1.

La somme de deux multiples d’un entier naturel n est encore un multiple de n (voir la démonstration dans les méthodes).

Exemple : 63 et 49 sont des multiple de 7 (63 = 7 × 9 et 49 = 7 × 7) ; leur somme 122 est donc aussi un multiple de 7, on a 122 = 7 × (9 + 7) = 7 × 16.

 

Méthode

1 Démontrer que la somme de deux multiples de n est un multiple de n

1. On considère deux multiples de 3. Montrer que leur somme est encore un multiple de 3.

2. Le résultat précédent est-il encore valable pour des entiers naturels autres que 3 ? Justifier la réponse.

3. Soit n un entier naturel. Démontrer que la somme de deux multiples de n est un multiple de n.

conseils

1. Appelez m et m les deux multiples de 3 et exprimez-les en fonction de 3, puis factorisez.

2. Utilisez le même procédé avec un autre entier naturel.

3. Généralisez les résultats précédents, en remplaçant 3 par n.

 

solution

 

1. On sait qu’il existe deux entiers q et q tels que m = 3q et m = 3q. Par conséquent, et après factorisation par 3, on obtient m + m = 3q + 3q = 3(q + q). Il existe donc un entier naturel Q = q + q tel que m + m = 3Q.

2. On prouverait de même que la somme de deux multiples de 31 est un multiple de 31 : m = 31 × q et m = 31 × q donc m + m = 31(q + q). Il en est de même pour tout entier naturel autre que 3 et 31.

3. En généralisant les démonstrations précédentes, on écrit m = nq et m = nq donc m + m = n(q + q).

2 Utiliser un algorithme pour reconnaître des multiples

PB_Bac_05294_Mat2_TT_p027-050_C02_Algo_0

Dans l’algorithme ci-dessus, l’utilisateur a donné des valeurs entières à a et à b. L’instruction a % b renvoie le reste de la division euclidienne de a par b.

Interpréter et compléter cet algorithme.

conseils

Il s’agit d’afficher des phrases concernant le lien qu’il y a entre les deux entiers a et b.

solution

 

L’algorithme permet de déterminer si a est un multiple de b. Algorithme complété :

PB_Bac_05294_Mat2_TT_p027-050_C02_Algo_1

 

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