Dresser un tableau de signes

Merci !

Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Fonctions de référence. Etudes de fonctions


Rappels de cours

1 Étude algébrique du signe d’une expression

Soit E(x) une expression dépendant d’une variable réelle x.

Étudier algébriquement le signe de E(x), c’est déterminer par le calcul pour quelle(s) éventuelle(s) valeur(s) de x :

l’expression E(x) s’annule, E(x)=0 ;

l’expression E(x) est strictement positive, E(x)>0 ;

l’expression E(x) est strictement négative, E(x)<0.

On peut alors résumer les résultats obtenus dans un tableau de signes.

exemple On considère l’expression E(x)=5x+3 x. Alors 5x+3=0x=35=0,6 et 5x+3>0x>0,6.

Le signe de E(x) selon les valeurs de x est donc :

x

0,6

+

Signe de E(x)

0

+

2 Détermination graphique du signe d’une fonction

Soit une fonction f définie sur un ensemble D et Cf sa courbe représentative dans un repère du plan. Déterminer graphiquement le signe de f, c’est étudier la position de Cf par rapport à l’axe des abscisses :

si Cf coupe l’axe des abscisses, alors f s’annule aux abscisses correspondantes ;

si Cf est au-dessus de l’axe des abscisses, alors f est strictement positive sur l’intervalle correspondant ;

si Cf est en dessous de l’axe des abscisses, alors f est strictement négative sur l’intervalle correspondant.

02909_F09_01

exemple Cf est la courbe représentative de f définie sur [6;2].

Cf coupe l’axe des abscisses en x=5, x=3,25, x=0,5 et x=1,75.

Par lecture graphique, on obtient le tableau suivant :

x

6

5

3,25

0,5

1,75

2

Signe de f(x)

0

+

0

0

+

0

Méthodes

Étudier la position relative de deux courbes

Soit f et g les fonctions définies sur par f(x)=x28x+3 et g(x)=x2+4x16, Cf et Cg leurs courbes représentatives ­respectives dans un repère du plan. Développer l’expression2(x3)2+1 et en déduire les positions relatives de Cf et Cg.

Conseils

Étudiez le signe de la différence f(x)g(x).

 

Solution

2(x3)2+1=2(x26x+9)+1=2x212x+18+1=2x212x+19..

f(x)g(x)=x28x+3(x2+4x16)=2x212x+19=2(x3)2+1.

Ainsi :

x

+

Signe de f(x)g(x)

+

Pour tout réel x, f(x)g(x)>0f(x)>g(x). Cf est donc toujours au-dessus de Cg.

Déterminer un ensemble de définition

Déterminer l’ensemble de définition Df de f avec f(x)=25x.

Conseils

Étudiez le signe de 25x.

 

Solution

25x=02=5xx=25=0,4 et 25x>02>5x0,4>x.

On en déduit le signe de 25x selon les valeurs de x :

x

0,4

+

Signe de 25x

+

0

f(x) existe si et seulement si 25x0 donc Df=];0,4].