Dresser un tableau de signes

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Fonctions de référence. Études de fonctions


Rappels de cours

1 Détermination graphique du signe d’une fonction

Soient une fonction f définie sur un ensemble D et Cf sa courbe représentative dans un repère du plan. Déterminer graphiquement le signe de f, c’est étudier la position de Cf par rapport à l’axe des abscisses :

si Cf coupe l’axe des abscisses, alors f s’annule aux abscisses des points d’intersection ;

si Cf est au-dessus de l’axe des abscisses, alors f est strictement positive sur cet intervalle ;

si Cf est en dessous de l’axe des abscisses, alors f est strictement négative sur cet intervalle.

02909_F10_01

exemple Cf est la courbe représentative de f définie sur [6;2]. Cf coupe l’axe des abscisses en x=5, x=3,25, x=0,5 et x=1,75.

Par lecture graphique, on obtient le tableau suivant :

04437_F10_tab_02

2 Étude algébrique du signe d’une expression

Soit E(x) une expression dépendant d’une variable réelle x.

Étudier algébriquement le signe de E(x), c’est déterminer par le calcul pour quelle(s) éventuelle(s) valeur(s) de x :

l’expression E(x) s’annule, E(x)=0 ;

l’expression E(x) est strictement positive, E(x)>0 ;

l’expression E(x) est strictement négative, E(x)<0.

exemple On considère l’expression E(x)=5x+3 x. Alors 5x+3=0x=35=0,6 et 5x+3>0x>0,6.

04437_F_10_tab01

On peut résumer ces résultats dans le tableau de signe de E(x).

Méthodes

Étudier la position relative de deux courbes

Soient f et g les fonctions définies sur par f(x)=x28x+3 et g(x)=x2+4x15. Étudier les positions relatives de leurs courbes respectives Cf et Cg dans un repère du plan.

Conseils

Étudiez le signe de la différence f(x)g(x).

Solution

f(x)g(x)=x28x+3(x2+4x15)=2x212x+18=2(x3)2.

Ainsi :

04437_F10_tab_04

Pour tout réel x3, f(x)g(x)>0f(x)>g(x).

Cf est donc toujours au-dessus de Cg, sauf pour x = 3, abscisse en laquelle les deux courbes ont un point commun.

Déterminer le signe d’un quotient

Soit l’expression r(x)=4x+32x1. Dresser le tableau de signes de r(x).

Conseils

Étudiez le signe du numérateur et le signe du dénominateur. Concluez par la règle des signes sans omettre la valeur interdite.

Solution

4x+3=0x=0,75

4x+3>0x>0,75

2x1=0x=0,5

2x1>0x>0,5

Regroupons ces résultats dans un tableau de signes et appliquons la règle des signes pour en déduire le signe de l’expression r(x).

04437_F_10_tab02

à noter ! La valeur interdite (qui annule le dénominateur) est ici 0,5. D’où la double barre.

r(x) est donc strictement positive sur ]–  ; – 0,75[ ]0,5 ; + [, strictement négative sur ]– 0,75 ; 0,5[, nulle pour x = – 0,75.