Un échantillon est généralement un sous-ensemble d'une population. Ici un échantillon correspondra à des répétitions indépendantes d'une expérience modélisée par une même loi.

I Taille d'un échantillon

Une loi de probabilité étant donnée, on appelle échantillon de taille n (ou n-échantillon) de cette loi une liste $\left(X_1, X_2, \dots , X_n\right)$ de n variables aléatoires indépendantes et identiques suivant cette loi.

Une suite x₁ ; x₂ ; … ; x_n de valeurs prises par les variables aléatoires X_i$(1\le i\le n)$ est une réalisation de l'échantillon.

Dans toute cette fiche, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. On suppose usuellement que la taille n de l'échantillon est « beaucoup plus petite » que celle de la population.

II Somme et moyenne d'un échantillon

1 Définition de la somme et de la moyenne

Soit $\left(X_1, X_2, \dots , X_n\right)$ un échantillon de taille n d'une loi de probabilité.

On pose $S_n=X_1+X_2+\dots +X_n$ (somme) et $M_n=\frac{S_n}{n}$ (moyenne).

Puisque les variables aléatoires $X_1, X_2, \dots , X_n$ ont la même loi, elles ont la même espérance, notée m, la même variance, notée ${\text{σ}}^2$, et le même écart type, noté $\text{σ}$.

2 Espérance

D'après les propriétés de l'espérance : $E\left(S_n\right)=nm$ et $E\left(M_n\right)=m$

3 Variance

D'après les propriétés de la variance : $V\left(S_n\right)=n{\text{σ}}^2$ et $V\left(M_n\right)=\frac{1}{n}{\text{σ}}^2$

On en déduit l'écart type des variables aléatoires $S_n$ et $M_n$ :

$\text{σ}\left(S_n\right)=\sqrt{n}\text{σ}$ et $\text{σ}\left(M_n\right)=\frac{\text{σ}}{\sqrt{n}}$.

Remarque : On constate que, lorsque n augmente, $V\left(M_n\right)$ et $\text{σ}\left(M_n\right)$ diminuent.

La dispersion de la moyenne $M_n$ diminue lorsque la taille n de l'échantillon augmente.

Méthode

Déterminer l'espérance et la variance de la moyenne de deux variables aléatoires identiques et indépendantes

Soit X₁ et X₂ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\left\{2, 3, 6, 8, 11\right\}$. On note M₂ la moyenne de X₁ et X₂ : $M_2=\frac{X_1+X_2}{2}$.

a. Calculer l'espérance $E\left(M_2\right)$ et la variance $V\left(M_2\right)$ de M₂ à partir de celles de X₁ et X₂.

b. Établir la loi de M₂ et retrouver la valeur de son espérance.

Conseils

b. Utiliser un tableau à double entrée, ou bien lister tous les couples possibles pour $\left(X_1;X_2\right)$.

Solution

a. $E\left(M_2\right)=E\left(X_1\right)=E\left(X_2\right)=m$ et $m=\frac{2+3+6+8+11}{5}=6$.

L'espérance de M₂ est donc égale à 6.

Si on pose $V\left(X_1\right)=V\left(X_2\right)={\text{σ}}^2$, alors $V\left(M_2\right)=\frac{{\text{σ}}^2}{2}$.

${\text{σ}}^2=E\left(X_1^2\right)-{\left[E\left(X_1\right)\right]}^2$, donc ${\text{σ}}^2=\frac{4+9+36+64+121}{5}-36$ ; ${\text{σ}}^2=\mathrm{10,8}$.

D'où $V\left(M_2\right)=\frac{\mathrm{10,8}}{2}=5,4$.

b. En listant les 25 couples (tous équiprobables) de valeurs possibles pour $\left(X_1;X_2\right)$ et en calculant pour chacun la moyenne des deux valeurs, on obtient la loi de M₂.

Par exemple, la valeur 7 de M₂ est obtenue pour les 4 couples (3 ; 11), (6 ; 8), (8 ; 6) et (11 ; 3).

D'où l'espérance de M₂ :

$E\left(M_2\right)=\frac{1\times 2+2\times \mathrm{2,5}+1\times 3+\dots +2\times \mathrm{9,5}+1\times 11}{25}=\text{6}$.