Terminale générale Physique-chimie Écoulement d'un fluide

Le débit d'un fluide dans un tuyau peut être calculé par rapport à la quantité de matière ou par rapport au volume de fluide en déplacement.

I Débit volumique et débit massique

Le débit massique d'un fluide D_m est la masse m de fluide qui passe par la section S d'un tuyau par unité de temps :

PB_Bac_06432_PhyChiT_gene_p251-274_C10_Groupe_Schema_1

Mot clé

On appelle section d'un tuyau la surface en coupe transversale de l'intérieur du tuyau qui est traversée par un fluide en mouvement.

Le débit volumique d'un fluide D_V est le volume V de fluide qui traverse la section S d'un tuyau par unité de temps :

PB_Bac_06432_PhyChiT_gene_p251-274_C10_Groupe_Schema_2

Le débit massique et le débit volumique sont reliés par : $D_{m} = ρ \times D_{V}$ .

II Vitesse d'écoulement et principe de continuité

L'écoulement d'un fluide est permanent si les paramètres qui le caractérisent (pression, température, vitesse) en un point restent constants au cours du temps. Lors d'un écoulement permanent, le débit volumique D_V est relié à la section S et à la vitesse d'écoulement v par :

PB_Bac_06432_PhyChiT_gene_p251-274_C10_Groupe_Schema_3

Lors de l'écoulement permanent d'un fluide, la quantité de fluide qui entre en A dans une portion de tuyau doit être la même que celle qui en sort en B dans le même temps : $D_{m, A} = D_{m, B}$ .

Dans le cas d'un fluide incompressible, on en déduit : $D_{V, A} = D_{V, B}$ .

Pour les fluides incompressibles en régime permanent, on a alors :

PB_Bac_06432_PhyChiT_gene_p251-274_C10_Groupe_Schema_4

Méthode

Déterminer les caractéristiques d'un écoulement

Le canal de Craponne est un canal qui relie la Durance au Rhône. Ce canal passe au milieu du village de Pelissanne. Sur une partie du village, le canal est droit et sa section diminue progressivement. Au point le plus large (A) la largeur du canal est de L₁ = 1,40 m, au plus étroit (B) elle est de L₂ = 90 cm. La coupe transversale montre que le canal est parallélépipédique et que le niveau d'eau est de h = 90,0 cm.

Il a été mesuré que 70 200 L passent au point B en une minute.

On suppose que l'écoulement de l'eau est permanent.

a. Déterminer le débit volumique du canal au point B.

b. En déduire le débit massique.

c. Déterminer la vitesse de l'eau au point B.

d. En déduire la vitesse de l'eau au point A.

Donnée : masse volumique de l'eau : ρ_eau = 1 000 kg · m⁻³.

Conseils

a. Dans le calcul du débit volumique, le volume de fluide doit être exprimé en mètres cubes et le temps en secondes.

b. Le débit massique et le débit volumique sont proportionnels : le coefficient de proportionnalité est la masse volumique du fluide considéré. Il faut de nouveau faire attention à exprimer les grandeurs dans les unités SI.

c. Le débit volumique d'un fluide dans un tuyau dépend de la surface de la section du tuyau et de la vitesse d'écoulement du fluide.

d. Appliquez le principe de continuité.

Solution

a. On calcule le débit volumique : V = 70 200 L = 70 200 × 10⁻³ m⁻³ ;

t = 1 min = 60 s.

$D_{V} = \frac{V}{t} = \frac{70 200 \times 10^{- 3}}{60} = 1,17$ m³ · s⁻¹.

b. On calcule le débit massique : $D_{m} = ρ \times D_{V}$ $= 1 000 \times 1,17 = 1 170$ kg ·s⁻¹.

c. On calcule la surface de la section d'eau en B :

$S_{B} = h \times L_{2} = 90,0 \times 10^{- 2} \times 90,0 \times 10^{- 2} = 8,1 \times 10^{- 1} m^{2}$ .

On calcule la vitesse d'écoulement en B : $v_{B} = \frac{D_{V}}{S_{B}} = \frac{1,17}{8,1 \times 10^{- 1}} = 1,4$ m · s⁻¹.

d. D'après le principe de continuité, on a : $D_{V, A} = D_{V, B}$ d'où $D_{V, B}$ = S_A × v_A

On calcule la surface de la section d'eau en A :

$S_{A} = h \times L_{1} = 90,0 \times 10^{- 2} \times 1,40 = 1,26 m^{2}$

$v_{A} = \frac{D_{V, B}}{S_{A}} = \frac{1,17}{1,26} = 9,3 \times 10^{- 1}$ m · s⁻¹

Écoulement d'un fluide en régime permanent