Effectuer des calculs algébriques avec des nombres complexes

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Corpus Corpus 1
Effectuer des calculs algébriques avec des nombres complexes

FB_Bac_98617_MatT_S_043

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Rappels de cours

1Définitions fondamentales

Tout nombre complexe s’écrit de manière unique sous la forme , où , et .

Cette forme s’appelle la forme algébrique de .

à noter ! est un nombre réel.

est la partie réelle de .

est la partie imaginaire de .

On écrit x = et y =).

Cela signifie que .

est le conjugué de .


est l’image de , est l’affixe de .

est le module de .

 Pour trouver la forme algébrique de , on multiplie le numérateur et le dénominateur par . On trouve :

.

2Propriétés de et

Pour tout et  :

et et

attention ! Remarquez la division par .

remarque En général et .

3Propriétés des conjugués

 Pour tout et (et si nécessaire) :

 Pour démontrer qu’un nombre complexe est réel :

.

 Pour démontrer qu’un nombre complexe est imaginaire pur (de la forme ) :

Méthode

Déterminer un ensemble de points

Pour tout nombre complexe différent de 4, on définit On appelle le point d’affixe 4. Trouver l’ensemble des points d’affixe du plan tels que soit réel.

Conseils
  • Il suffit de trouver pour que , c’est-à-dire pour que .
  • Écrivez sous la forme algébrique, sachant que ( et réels).
  • Supprimez la partie imaginaire du dénominateur de en le multipliant par son conjugué.
Solution

rappel Comme , on connaît directement l’expression du dénominateur : .

On peut alors voir que .


Donc :

Soit le point d’affixe .

.

Par conséquent, est réel si et seulement si appartient au cercle d’équation

privé du point .

L’ensemble cherché est donc .

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