On se place dans un repère orthonormé $\left(O;\overrightarrow{\text{i}},\overrightarrow{\text{j}}\text{,}\overrightarrow{\text{k}}\right)$ de l'espace et on caractérise un plan à l'aide d'une équation à trois inconnues : $\text{x},\text{y},\text{z}$.

I Équation cartésienne d'un plan

Théorème Tout plan dont un vecteur normal a pour coordonnées $\left(a;b;c\right)$ a une équation cartésienne de la forme :

$ax+by+cz+d=0$

Réciproquement : si a, b, c et d sont quatre nombres tels que $\left(a,b,c\right)\ne \left(0,0,0\right)$, toute équation de la forme $ax+by+cz+d=0$ est celle d'un plan dont $\overrightarrow{n}\left(a;b;c\right)$ est un vecteur normal.

Un plan a une infinité d'équations cartésiennes. Si $ax+by+cz+d=0$ est l'une d'elle, alors $k\left(ax+by+cz+d\right)=0$ en est une autre pour tout réel $k\ne 0$.

Deux plans d'équations respectives $ax+by+cz+d=0$ et $a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }z+d^{\prime }=0$ sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux le sont, c'est-à-dire si et seulement si $a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime }=0$.

II Intersections de deux plans

Théorème Tout système de la forme

$\{\begin{array}{l}ax + by + c + d = 0\\ a^{\prime }x + b^{\prime }y + c^{\prime }z + d^{\prime } = 0\end{array}$

où les deux équations sont celles de deux plans distincts $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}$′, admet une infinité de solutions si et seulement si $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}$′ ont des vecteurs normaux $\overrightarrow{n}$ et ${\overrightarrow{n}}^{\prime }$non colinéaires.

Les solutions de ce système sont les coordonnées des points de la droite d'intersection $\mathcal{D}$ des deux plans.

Remarque : Le système a des solutions si et seulement si $\overrightarrow{n}$ et ${\overrightarrow{n}}^{\prime }$ ne sont pas colinéaires, c'est-à-dire si les triplets (a, b, c) et (a′, b′, c′) ne sont pas proportionnels. En effet, dans le cas contraire, $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}$′ sont parallèles.

Méthodes

1 Écrire une équation cartésienne d'un plan

a. On donne les points $\text{A}\left(-1;2;0\right)$, $\text{B}\left(2;3;-\text{}1\right)$ et $\text{C}\left(0;-4;2\right)$.

Écrire une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $\text{A}$ et orthogonal à la droite $\left(\text{BC}\right)$.

b. Écrire une équation cartésienne des plans $\left(x\text{O}y\right),\left(y\text{O}z\right)$ et $\left(z\text{O}x\right)$.

Conseils

a. Calculez les coordonnées de $\overrightarrow{\text{BC}}$ normal au plan $\mathcal{P}$, puis traduisez analytiquement le fait qu'un point $\text{M}$ appartient à $\mathcal{P}$ si et seulement si $\overrightarrow{\text{AM}}\cdot \overrightarrow{\text{BC}}=0.$

b. Déterminez un vecteur normal aux plans, sachant qu'ils contiennent l'origine $\text{O}$.

Solution

a. Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\overrightarrow{\text{BC}}$. Celui-ci a pour coordonnées $\left(0-2;-4-3;2-\left(-1\right)\right)$, soit $\overrightarrow{\text{BC}}\left(-2;-7;3\right)$.

Un point M appartient à $\mathcal{P}$ si et seulement si $\overrightarrow{\text{AM}}\cdot \overrightarrow{\text{BC}}=0$, donc si et seulement si $\left(x+1\right)\times \left(-2\right)+\left(y-2\right)\times \left(-7\right)+\left(z-0\right)\times 3=0\iff$$-\text{}\text{2}\text{x}-\text{7}\text{y}+\text{3}\text{z}+\text{12}=\text{0}$.

b. $\overrightarrow{k}\left(0;0;1\right)$ est un vecteur normal au plan $\left(x\text{O}y\right)$, qui a donc pour équation $0x+0y+1z+d=0\text{soit }\text{z}=\text{0}$ car le plan contient $\text{O}$.

De même pour le plan $\left(y\text{O}z\right)$ : $x=0$ et pour le plan $\left(z\text{O}x\right)$ : $y=0$.

2 Étudier l'intersection de deux plans

On considère les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ d'équations cartésiennes respectives

$-2x-7y+3z+12=0$ et $2x+7y-3z-11=0$.

Examiner la nature de l'intersection de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$.

Conseils

Étudier l'intersection de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ revient à résoudre un système d'équations.

Solution

$2x+7y-3z-11=0\iff -\text{}2x-7y+3z+11=0$.

Un point $\text{M}\left(x;y;z\right)$ appartient à l'intersection des deux plans si et seulement si le système $\left\{\begin{array}{l}-2x-7y+3z=-12\\ -2x-7y+3z=-11\end{array}\right.$ a des solutions.

Ce n'est pas le cas car $-12\ne -11.$ L'intersection des deux plans est donc vide. C'est pourquoi ces plans sont parallèles.