Fiche de révision

Équation différentielle y'= ay + b

Contenu


On connaît la forme des solutions des équations différentielles y  = ay + ba et b sont des constantes, ce qui n'est pas le cas pour la plupart des autres équations.

I Équation différentielle y ′ = ay, a réel

Les solutions sur ℝ de l'équation différentielle y=ay sont les fonctions de la forme :

↦ Ceax, où C est une constante réelle

PB_Bac_06462_MathsComplT_gene_p000-000_C05_Groupe_Schema_0

II Équation différentielle y ′ = ay + b, a réel non nul, b réel

Les solutions sur ℝ de l'équation différentielle y=ay+b sont les fonctions de la forme :

xCeaxba,C est une constante réelle

À noter

Lorsque b = 0, on retrouve le cas précédent.

III Équation logistique

Une équation logistique est une équation différentielle de la forme y=kymy, où k et m sont des réels strictement positifs.

Elle se résout par un changement de la fonction variable, qui permet de se ramener à une équation différentielle de la forme y=ay+b.

Le modèle logistique, dû à Pierre François ­Verhulst, permet de modéliser l'évolution de certaines ­populations.

À noter

Dans les exercices, le changement de la fonction variable est systématiquement donné, il n'est pas à trouver.

Méthode

Résoudre une équation différentielle de la forme y ′ = ay + b

On considère l'équation différentielle E:2y+y=0.

1. Déterminer les solutions de (E) sur ℝ.

2. Déterminer la (ou les) solution(s) éventuelle(s) de (E) vérifiant la condition précisée dans chacun des cas suivants :

a. f(1) = 1

b. f(2) = (f(1))2

c. limx+fx=+

conseils

1. On se ramène à la forme y′ = ay + b ; c'est alors une question de cours.

2. Exprimez la contrainte par une condition sur la constante C de la solution générale.

solution

1. y solution de Ey=12y. Donc S =xCex2,C.

2. f est solution de (E) donc f est de la forme fx=Ce x2 avec C ∈ ℝ.

a. f1=1Ce 12=1C=e12. Donc l'unique fonction f solution de (E) vérifiant (1) = 1 est définie par f0x=e12×e x2 et S=f0:xe1-x2.

b. f2=f12Ce1=Ce 122Ce1=C2e1C=C2

⇔ 2 = 0 ⇔ (- 1) = 0 ⇔ = 0 ou = 1

On a donc deux solutions et S=f0:x0;f1:xe x2.

À noter

e1 ≠ 0 on peut donc bien simplifier par e1. En revanche, on ne sait rien de C. Il  ne faut donc surtout pas « simplifier » par C dans d'égalité C = C² (on remarque d'ailleurs que = 0 donne une solution).

c. On sait que limx+e x2=0. Donc quel que soit C, limx+fx=0. Il n'y a donc

pas de solution vérifiant la condition limx+fx=+.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner