Terminale générale Mathématiques Primitives, équations différentielles

On connaît la forme des solutions des équations différentielles $y^{'} = a y + f$ , selon la nature de f, ce qui n'est pas le cas pour la plupart des autres équations.

I Équation différentielle $y^{'} = a y$ , a réel

Les solutions sur $ℝ$ de l'équation différentielle $y^{'} = a y$ sont les fonctions de la forme :

$x \mapsto C e^{a x},$ où C est une constante réelle

II Équation différentielle $y^{'} = a y + b$ , a réel non nul, b réel

Les solutions sur $ℝ$ de l'équation différentielle $y^{'} = a y + b$ sont les fonctions de la forme :

À noter

Lorsque $b = 0,$ on retrouve le cas précédent.

$x \mapsto C e^{a x} - \frac{b}{a},$ où C est une constante réelle

III Équation différentielle $y^{'} = a y + f$ , a réel non nul, f fonction continue

Si l'on connaît une solution particulière $y_{0}$ sur un intervalle I de l'équation différentielle $y^{'} = a y + f$ , alors toutes les autres solutions sont de la forme :

À noter

Lorsque f est une fonction constante, on retrouve le cas précédent.

$x \mapsto C e^{a x} + y_{0}$ où C est une constante réelle

Méthode

Résoudre une équation différentielle de la forme $y^{'} = a y + b$

On considère l'équation différentielle $(E) : 2 y^{'} + y = 0 .$

1. Déterminer les solutions de $(E)$ sur $ℝ .$

2. Déterminer la (ou les) solution(s) éventuelle(s) de $(E)$ vérifiant la condition précisée dans chacun des cas suivants :

a. $f (1) = 1$

b. $f (2) = {(f (1))}^{2}$

c. $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$

Conseils

1. On se ramène à la forme $y^{'} = a y + b;$ c'est alors une question de cours.

2. Exprimez la contrainte par une condition sur la constante C de la solution générale.

Solution

1. y solution de $(E) \Leftrightarrow y^{'} = - \frac{1}{2} y .$ Donc $S = \{x \mapsto C e^{- \frac{x}{2}}, C \in ℝ\}$ .

2. f est solution de $(E)$ donc f est de la forme $f (x) = C e^{- \frac{x}{2}}$ avec $C \in ℝ .$

a. $f (1) = 1 \Leftrightarrow C e^{- \frac{1}{2}} = 1 \Leftrightarrow C = e^{\frac{1}{2}} .$ Donc l'unique fonction f solution de $(E)$ vérifiant $f (1) = 1$ est définie par $f_{0} (x) = e^{\frac{1}{2}} \times e^{- \frac{x}{2}}$ et $S = \{f_{0} : x \mapsto e^{\frac{1 - x}{2}}\}$ .

b. $\begin{array}{l} f (2) = {(f (1))}^{2} \Leftrightarrow C e^{- 1} = {(C e^{- \frac{1}{2}})}^{2} \Leftrightarrow C e^{- 1} = C^{2} e^{- 1} \Leftrightarrow C = C^{2} \\ \Leftrightarrow C - C^{2} = 0 \Leftrightarrow C (C - 1) = 0 \Leftrightarrow C = 0 ou C = 1 \end{array}$

On a donc deux solutions et $S = \{f_{0} : x \mapsto 0; f_{1} : x \mapsto e^{- \frac{x}{2}}\}$ .

À noter

$e^{- 1} \neq 0,$ on peut donc bien simplifier par $e^{- 1} .$ En revanche, on ne sait rien de C. Il ne faut donc surtout pas « simplifier » par C dans d'égalité $C = C^{2}$ (on remarque d'ailleurs que $C = 0$ donne une solution).

c. On sait que $\lim_{x \to + \infty} e^{- \frac{x}{2}} = 0 .$ Donc quel que soit C, $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 0 .$ Il n'y a donc pas de solution vérifiant la condition $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty .$

Équation différentielle y'= ay + f

I Équation différentielle $y^{'} = a y$ , a réel

II Équation différentielle $y^{'} = a y + b$ , a réel non nul, b réel

À noter

III Équation différentielle $y^{'} = a y + f$ , a réel non nul, f fonction continue

À noter

Méthode

Résoudre une équation différentielle de la forme $y^{'} = a y + b$

Conseils

Solution

À noter

Pour lire la suite

Équation différentielle y'= ay + f

I Équation différentielle y′=ay, a réel

II Équation différentielle y′=ay+b, a réel non nul, b réel

À noter

III Équation différentielle y′=ay+f, a réel non nul, f fonction continue

À noter

Méthode

Résoudre une équation différentielle de la forme y′=ay+b

Conseils

Solution

À noter

Pour lire la suite

I Équation différentielle $y^{'} = a y$ , a réel

II Équation différentielle $y^{'} = a y + b$ , a réel non nul, b réel

III Équation différentielle $y^{'} = a y + f$ , a réel non nul, f fonction continue

Résoudre une équation différentielle de la forme $y^{'} = a y + b$