Fiche de révision

Équation différentielle y'= ay + f

Contenu


On connaît la forme des solutions des équations différentielles y=ay+f, selon la nature de f, ce qui n'est pas le cas pour la plupart des autres équations.

I Équation différentielle y=ay, a réel

Les solutions sur de l'équation différentielle y=ay sont les fonctions de la forme :

xCeax,C est une constante réelle

06468_C09_0106468_C09_02

II Équation différentielle y=ay+b, a réel non nul, b réel

Les solutions sur de l'équation différentielle y=ay+b sont les fonctions de la forme :

À noter

Lorsque b=0, on retrouve le cas précédent.

xCeaxba,C est une constante réelle

III Équation différentielle y=ay+f, a réel non nul, f fonction continue

Si l'on connaît une solution particulière y0 sur un intervalle I de l'équation différentielle y=ay+f, alors toutes les autres solutions sont de la forme :

À noter

Lorsque f est une fonction constante, on retrouve le cas précédent.

xCeax+y0C est une constante réelle

Méthode

Résoudre une équation différentielle de la forme y=ay+b

On considère l'équation différentielle E:2y+y=0.

1. Déterminer les solutions de E sur .

2. Déterminer la (ou les) solution(s) éventuelle(s) de E vérifiant la condition précisée dans chacun des cas suivants :

a. f1=1

b. f2=f12

c. limx+fx=+

Conseils

1. On se ramène à la forme y=ay+b; c'est alors une question de cours.

2. Exprimez la contrainte par une condition sur la constante C de la solution générale.

Solution

1. y solution de Ey=12y. Donc S=xCex2,C.

2. f est solution de E donc f est de la forme fx=Ce x2 avec C.

a. f1=1Ce 12=1C=e12. Donc l'unique fonction f solution de E vérifiant f1=1 est définie par f0x=e12×ex2 et S=f0:xe1x2.

b. f2=f12Ce1=Ce 122Ce1=C2e1C=C2CC2=0CC1=0C=0 ou C=1

On a donc deux solutions et S=f0:x0;f1:xex2.

À noter

e10, on peut donc bien simplifier par e1. En revanche, on ne sait rien de C. Il ne faut donc surtout pas « simplifier » par C dans d'égalité C=C2 (on remarque d'ailleurs que C=0 donne une solution).

c. On sait que limx+ex2=0. Donc quel que soit C, limx+fx=0. Il n'y a donc pas de solution vérifiant la condition limx+fx=+.

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