Équations différentielles

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Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Équations différentielles

Équations différentielles

1Résolution de l’équation différentielle
y + ay = 0

Les solutions de l’équation différentielle y’ + ay = 0 (c’est-à-dire y’ = – ay) sont les fonctions définies sur par :

x  keax, où k est une constante réelle quelconque.

L’équation différentielle y′ + ay = 0 admet une solution f, et une seule, définie sur , vérifiant la condition initiale f(x0) = y0, où x0 et y0 sont donnés.

Exemple

On considère l’équation différentielle (E) : y+34y=0, dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x définie et dérivable sur et y′ la fonction dérivée de y.

11515_Math_602.

• Toutes les solutions de (E) sont donc définies sur par : f(x)=ke34x, où k est une constante réelle quelconque.

• Déterminons la solution particulière f de (E) qui vérifie f′(0) = – 6. Pour tout x de , f(x)=k34e 34x.

(eu) = ueu.

f′(0) = – 6 se traduit par : 34ke0=6 ; e0 = 1, donc 34k=6 ; k = 8. La solution cherchée est définie sur par : f(x)=8e34x.

2Résolution de l’équation différentielle y + ay = b

Les solutions de l’équation différentielle y’ + ay = b sont les fonctions définies sur par :

xkeax+ba, où k est une constante réelle quelconque.

L’équation différentielle y′ + ay = b admet une solution f, et une seule, définie sur , vérifiant la condition initiale f(x0) = y0, où x0 et y0 sont donnés.

Exemple

La modélisation d’un phénomène physique conduit à l’équation différentielle (E) : 2y′ + y = 12, où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur et y′ est la fonction dérivée de y.

• L’équation différentielle (E) s’écrit : y+12y=14. C’est une équation de la forme y + ay = b,
avec a=12 et b=14.

Les solutions sont donc définies sur par : xke12x+1412=ke12x+12, où k est une constante réelle quelconque.

• Déterminons la solution particulière ϕ de (E) qui vérifie ϕ(0) = 0.

ϕ(0) = 0 se traduit par :

ke0+12=0 ; k+12=0 ; k=12.

ϕ est définie par : ϕ(x)=12e12x+12.

3Résolution de l’équation différentielle y + ω2y = 0

Les solutions de l’équation différentielle y’’ + ω2y = 0 sont les fonctions définies sur par :

xk1cosωx+k2sinωx, où k1 et k2 sont des constantes réelles quelconques.

En physique la variable est souvent le temps t et on écrit plutôt les solutions sous une des formes tA cos (ωt + ϕ) ou tA sin (ωt + ϕ), avec A et ϕ constantes réelles et C > 0.

L’équation différentielle y″ + ω2y = 0 admet une solution f et une seule sur , vérifiant deux conditions initiales données.

Exemple

On considère l’équation différentielle (E) : y″ + 4y = 0 où y est une fonction de la variable réelle t définie et deux fois dérivable sur et y″ la fonction dérivée seconde de y.

On a remplacé x par t dans le résultat.

• (E) est de la forme y″ + ω2y = 0 avec ω = 2. Donc, toutes les solutions de (E) sont définies sur par f(t) = k1 cos 2t + k2 sin 2tk1 et k2 sont des constantes réelles quelconques.

• Déterminons la solution particulière de (E) qui vérifie fπ4=2 et fπ8=0.

fπ4=2 se traduit par : k1cosπ2+k2sinπ2=2 ;
cosπ2=0 et sinπ2=1, donc k2=2.

Pour tout x de , f(t) = – 2 k1 sin 2t + 2 k2 cos 2t.

On utilise les formules et du paragraphe du chapitre 5.

fπ8=0 se traduit par : 2k1sinπ4+2k2cosπ4=0 ;

cosπ4=sinπ4=22 ; 2k122+2k222=0 ;

k1+k2=0, d'où k1 = k2.

k2=2, d'où k1=k2=2.

La solution cherchée est définie sur par : f(t)=2cos2t+2sin2t.