Équations du premier degré à une inconnue

Merci !

Fiches
Classe(s) : 1re Générale | Thème(s) : Calcul vectoriel – Produit scalaire

On peut à l’aide des propriétés du produit scalaire transformer des expressions dépendant de vecteurs. La formule d’Al-Kashi est une conséquence de l’une de ces transformations.

I Développement de ||u+v||2

Pour tous vecteurs u et v du plan :

||u+v||2=||u||2+2uv+||v||2

En remplaçant v par v, on obtient :

||uv||2=||u||22uv+||v||2.

On peut exprimer uv à l’aide des normes :

uv=12(||u+v||2||u||2||v||2) et uv=12(||u||2+||v||2||uv||2).

II Formule d’Al-Kashi

À noter

Si α=π2, le triangle ABC est rectangle en A et on retrouve le théorème de Pythagore. Ainsi le théorème d’Al-Kashi est appelé « théorème de Pythagore généralisé ».

Soit ABC un triangle et α la mesure de l’angle BAC^. On a :

BC2=AB2+AC22AB×AC×cosα

La formule d’Al-Kashi peut également s’écrire :

AC2 = BA2 + BC2 – 2 BA × BC × cos β, avec β mesure de ABC^ ;

AB2 = CA2 + CB2 – 2 CA × CB × cos γ, avec γ mesure de ACB^.

II Transformation de MAMB

A et B sont deux points du plan, I est le milieu du segment [AB].

Pour tout point M du plan :

MAMB=MI2IA2

Ou encore : MAMB=MI214AB2

Méthodes

1 « Résoudre » un triangle à l’aide de la formule d’Al-Kashi

Soit ABC un triangle tel que AB = 9, AC = 4 et BAC^ a pour mesure 60°.

Calculer BC et déterminer une mesure approchée des angles ABC^ et BCA^.

conseils

Utilisez la formule d’Al-Kashi pour calculer BC, puis cos β, avec β mesure de l’angle ABC^, et déterminez une valeur approchée de β à l’aide de la calculatrice. Rappelez-vous que la somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180°.

solution

D’après la formule d’Al-Kashi, BC2 = AB2 + AC2 – 2 AB × AC × cos (60°).

D’où BC2=81+162×9×4×12=61, soit BC=61.

Si β est la mesure de l’angle ABC^, alors AC2 = BA2 + BC2 – 2 BA × BC × cos β. Donc cosβ=BA2+BC2AC22 BA×BC, soit cosβ=1261861=761.

Avec la calculatrice, ABC^ a pour mesure environ 26,3° et, la somme des mesures des angles étant égale à 180°, ACB^ a pour mesure environ 93,7°.

2 Détermination d’un ensemble de points

A et B sont deux points tels que AB = 6. I est le milieu du segment [AB].

On appelle ℰ l’ensemble des points M du plan tels que MAMB=27.

a. Soit C le symétrique de I par rapport à A. Montrer que C appartient à ℰ.

b. Déterminer l’ensemble ℰ.

conseils

Utilisez l’égalité MAMB=MI214AB2 et déduisez-en que ℰ est un cercle de centre I.

solution

a. Les vecteurs CA et CB sont colinéaires de même sens, donc CACB=CA×CB. CA = 3 et CB = 9, donc CACB=3×9=27, donc C ∈ ℰ.

05285_chap08_fiche26i01

b. MAMB=MI214AB2=MI29, donc :

M ∈ ℰ  MI2 – 9 = 27  MI2 = 36  MI = 6.

est donc le cercle de centre I et de rayon 6 (passant par C).

Annabac est gratuit en septembre !

Inscris-toi pour en profiter.