Équations du second degré dans ℂ à coefficients réels

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Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Applications des nombres complexes


Certaines équations du second degré n’ont pas de solution dans ℝ. Dans , toutes ont deux solutions, distinctes ou confondues, donc tout trinôme du second degré peut être factorisé.

I Forme canonique d’un trinôme az ² + bz + c = 0, a ≠ 0

Une équation du second degré dans à coefficients réels est une équation de la forme az² + bz + c = 0, où a, b et c sont trois nombres réels avec a ≠ 0, et où l’inconnue z est un nombre complexe.

La forme canonique du trinôme du second degré az2+bz+c est :

az2+bz+c=az+b2a2b24ac4a2=az+b2a2Δ4a2

Δ=b24ac est le discriminant de l’équation (ou du trinôme) du second degré.

II Résolution dans ℂ de l’équation az ² + bz + c = 0, a ≠ 0

On étudie le signe du discriminant Δ=b24ac.

1er cas : Δ>0

az2+bz+c=azb+Δ2azbΔ2a car Δ = (Δ)2.

Les solutions sont z1=b+Δ2a et z2=bΔ2a, qui sont deux nombres réels distincts.

2e cas : Δ=0

az2+bz+c=az+b2a2.

La solution, dite double, est z0=b2a, qui est un nombre réel.

3e cas : Δ<0

Dans ce cas, Δ>0 et Δ=1×Δ=i2×Δ2, soit Δ=iΔ2.

az2+bz+c=azb+iΔ2azbiΔ2a

Les solutions sont z1=b+iΔ2a et z2=z1¯=biΔ2a, qui sont deux nombres complexes conjugués.

Méthode

Résoudre une équation du second degré dans ℂ

a. Résoudre dans l’équation z222z2=0.

b. Résoudre dans l’équation z2+z+1=0.

c. Résoudre dans l’équation z26z+9=0.

Conseils

Étape 1 On calcule le discriminant de l’équation.

Étape 2 En fonction du signe du discriminant, on déduit le nombre de solutions de l’équation du second degré dans .

Étape 3 On donne l’expression de la (ou des) solution(s) de l’équation du second degré dans en utilisant les valeurs numériques de a, b et c.

Solution

a. Étape 1 Le discriminant est Δ=2224×1×2=8+8=16.

Étape 2 Δ > 0 donc, dans , l’équation z222z2=0 admet deux solutions réelles distinctes.

Étape 3 Ces deux solutions réelles sont :

z1=22+162=2+2 et z2=22162=22.

b. Étape 1 Le discriminant est Δ=124×1×1=3.

Étape 2 Δ < 0 donc l’équation z2+z+1=0 admet deux solutions dans , qui sont des nombres complexes conjugués.

Étape 3 Ces deux solutions complexes conjuguées sont :

z1=1+i32=12+32i et z2=1i32=1232i.

À noter

L’équation du second degré z2+z+1=0 n’a pas de solution dans .

c. Étape 1 Le discriminant est Δ=624×1×9=3636=0.

Étape 2 Δ = 0 donc, dans , l’équation z26z+9=0 admet une solution réelle double.

Étape 3 Cette solution est z0=62=3.

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