Équations réduites de droites

On peut décrire et étudier les droites usuelles, tracées à la règle, avec des équations. Si elles sont tracées dans un repère, elles ont un lien avec les fonctions affines.

I Introduction

Une fonction affine (de la forme x ↦ mx + p) a pour représentation graphique une droite constituée de tous les points de coordonnées (x ; mx + p).

Au lieu de dire « la représentation graphique de la fonction x ↦ mx + p », on dira : « la droite d'équation y = mx + p ».

Exemple : La droite d'équation y = 2x + 3 est constituée de tous les points de coordonnées (x ; 2x + 3).

II Caractérisation des droites

1 Cas général

Théorème

1. Toute droite du plan non parallèle à l'axe des ordonnées a pour équation y = mx + p, où m et p sont deux constantes données.

2. Toute droite parallèle à l'axe des ordonnées a pour équation x = c où c est une constante donnée.

Exemple : On a tracé ci-dessous la droite d'équation y = 2x + 3 (à gauche) et la droite d'équation x = 2 (à droite).

La droite d'équation y = mx + p contient le point de coordonnées (0 ; p). Le nombre p se nomme l'ordonnée à l'origine de la droite. Le nombre m s'appelle le coefficient directeur (ou la pente) de la droite.

2 Cas particuliers

Les droites parallèles à l'axe des abscisses ont pour équation y = p.

Les droites passant par l'origine du repère ont pour équation y = mx. Elles représentent des fonctions linéaires (de la forme x ↦ mx).

Tracer et interpréter la droite représentant une fonction affine

On considère la fonction affine f définie par f(x) = 2x + 3.

1. a. Déterminer quatre points appartenant à la droite d'équation y = 2x + 3 dont les abscisses sont 0, –1, –1,5 et 10. Présenter les résultats sous la forme d'un tableau.

b. Tracer la droite dans un repère orthonormé (O, I, J).

2. Déterminer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la droite.

3. a. Un point de la droite a pour ordonnée –100. Quelle est son abscisse ?

b. Déterminer graphiquement l'antécédent de –1 par f.

conseilS

1. Pour déterminer les ordonnées des quatre points, calculez f(0), f(–1), f(–1,5) et f(10).

3. a. Résolvez l'équation 2x + 3 = –100.

b. Repérez le point de la droite qui a pour ordonnée –1, puis trouvez graphiquement son abscisse.

solution

1. a.

Points	(0 ; 3)	(–1 ; 1)	(–1,5 ; 0)	(10 ; 23)
Justification	2 × 0 + 3 = 3	2 × (–1) + 3 = 1	2 × (–1,5) + 3 = 0	2 × 10 + 3 = 23

b. Plaçons les points A(0 ; 3)et B(–1 ; 1).

La droite cherchée est la droite (AB).

2. Comme f(x) = 2x + 3, le coefficient directeur de la droite est 2 et son ordonnée à l'origine est 3.

3. a. $2x+3=–100\Rightarrow x=–\frac{103}{2}=–\mathrm{51,5}$.

L'abscisse du point qui a pour ordonnée –100 est donc –51,5.

b. L'antécédent de –1 par f est –2 car le point (–2 ; –1) appartient à la droite.

Autrement dit, f(–2) = –1.

À noter

Dans l'égalité y = f(x), y est l'image de x et x est l'antécédent de y.