Estimer une proportion ou la taille d’un échantillon

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Estimation
Corpus Corpus 1
Estimer une proportion ou la taille d’un échantillon

FB_Bac_98617_MatT_S_041

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Rappels de cours

1Position du problème – Exemple


Dans une population, par exemple les trèfles dans un herbage, on souhaite connaître la proportion d’une certaine modalité, par exemple avoir quatre feuilles. A priori on ignore complètement la valeur de cette proportion et on ne fait aucune hypothèse à son sujet. Pour en avoir une idée, on prélève un échantillon de taille de la population étudiée (ici on cueille trèfles au hasard) et on calcule la fréquence observée de la modalité , c’est-à-dire la fréquence des trèfles à quatre feuilles.

On pourra alors estimer un encadrement (on dit aussi une fourchette) plus ou moins précis de la proportion recherchée.

2Intervalle de confiance

 Dans une population, il y a une proportion inconnue d’une certaine modalité . On choisit un échantillon de taille dans cette population et, dans celui-ci, il y a une fréquence d’individus ayant la modalité .

à noter !

La longueur de l’intervalle de confiance est égale à .

On appelle intervalle de confiance de niveau de confiance 0,95 l’intervalle :

Un intervalle de confiance est donc centré sur la fréquence observée de la modalité dans l’échantillon.

Si n est suffisamment grand, p appartient à I0,05 avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95.

 L’intervalle de confiance est d’autant plus étroit (donc la proportion est d’autant plus précisément évaluée) que la taille de l’échantillon est grande.

Méthode

Déterminer un intervalle de confiance

Dans une circonscription, le candidat souhaite avoir une idée des électeurs qui lui sont favorables et commande deux sondages. Les deux instituts qu’il a contactés assimilent leurs sondages à des tirages indépendants avec remise. Soit la proportion (inconnue) de votants pour X dans la circonscription.

1. Déterminer la taille minimum de l’échantillon d’électeurs à interroger pour que la longueur de l’intervalle de confiance au seuil 95 % soit inférieure à 7 %.

2. Le premier sondage porte sur électeurs, et 545 se déclarent pour  ; le second sur 1 300 électeurs et 640 se déclarent pour .

Quelle conclusion le candidat peut-il tirer de ces deux sondages sachant que l’on estime la proportion inconnue avec la méthode de l’intervalle de confiance au seuil 95 % ?

Conseil

1. La longueur d’un intervalle de confiance au seuil 95 % relatif à un échantillon de taille est égale à .

Solution

1. Soit le nombre d’électeurs à interroger. La longueur de l’intervalle de confiance au seuil 95 % étant de , on doit résoudre l’inéquation , c’est-à-dire , soit . On doit donc interroger au moins 817 électeurs.

2. Le premier sondage fournit la fréquence d’électeurs favorables à L’intervalle de confiance au seuil 95 % est .

On trouve de même et

.

Le premier sondage donne entre 50 % et 56,3 % de voix et le second entre 46,5 % et 52 %. La fourchette des deux est bien inférieure à 0,07. Si les deux sondages ont été bien faits, il doit raisonnablement s’attendre à avoir entre 46,5 % et 56,3 % des voix.

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