Étude vectorielle du parallélisme dans l’espace

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Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Vecteurs, droites et plans de l’espace


Après l’étude des positions relatives de droites et de plans dans l’espace, cette fiche propose d’étudier vectoriellement le cas particulier du parallélisme entre droites et plans de l’espace.

I Caractérisation vectorielle d’une droite et d’un plan de l’espace

1 Droites de l’espace

Soit A un point et u un vecteur non nul.

La droite passant par A et de vecteur directeur u est l’ensemble des points M de l’espace pour lesquels il existe t tel que AM=tu.

2 Plan de l’espace

Un vecteur n non nul de l’espace est un vecteur normal à un plan P lorsqu’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan P.

Le plan passant par A et de vecteur normal n est l’ensemble des points M de l’espace tels que les vecteurs AM et n sont orthogonaux, c’est-à-dire que AMn=0.

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II Étude vectorielle du parallélisme dans l’espace

Parallélisme de deux droites de l’espace

Soit D et Δ des droites ayant pour vecteurs directeurs u0 et v0.

D//Δu et v sont colinéaires Il existe α tel que v=αu.

Parallélisme d’une droite et d’un plan de l’espace

Soit D une droite et P un plan de l’espace, u0 un vecteur directeur de D et n0 un vecteur normal à P.

D // Pu et n sont orthogonaux nu=0

Parallélisme de deux plans de l’espace

Soit P et P′ deux plans de l’espace, n0 un vecteur normal à P et n0 un vecteur normal à P′.

P // P n et n sont colinéaires Il existe α tel que n=αn.

Méthodes

1 Établir le parallélisme de deux droites de l’espace

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé O;i,j,k, on considère :

– une droite D de vecteur directeur u(2 ; 1 ; 3) ;

– une droite D′ de vecteur directeur v4;2;6.

Démontrer que les droites D et D′ sont parallèles.

Conseils

Démontrez que les vecteurs u et v, vecteurs directeurs respectifs de la droite D et de la droite D′, sont colinéaires.

Solution

u(2 ; 1 ; 3) et v(4 ; 2 ; 6), donc v=2u.

En effet : 4=(2)×2 ; 2=(2)×1 ; 6=(2)×(3).

Les vecteurs u et v sont colinéaires, donc les droites D et D′ sont parallèles.

2 Établir le parallélisme de deux plans de l’espace

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé O;i,j,k, on considère le plan P1 d’équation cartésienne 2x+y+z6=0 et le plan P2 d’équation cartésienne 4x2y2z+1=0.

Démontrer que les plans P1 et P2 sont parallèles.

Conseils

Étape 1 Dans tous les cas, déterminez un vecteur normal aux plans considérés à partir de leur équation cartésienne.

Étape 2 Démontrez ensuite qu’un vecteur normal à P2 est colinéaire à un vecteur normal à P1.

Solution

Étape 1 Le plan P1 a pour équation cartésienne 2x+y+z6=0, donc n12;1;1 est un vecteur normal à ce plan.

Le plan P2 a pour équation cartésienne 4x2y2z+1=0, donc n24;2;2 est un vecteur normal à ce plan.

Étape 2 n2=2n1 car 4=(2)×(2) ; 2=(2)×1 ; 2=(2)×1.

Les vecteurs n1 et n2 sont colinéaires, donc les plans P1 et P2 sont parallèles.