Étudier la convexité d’une courbe

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Convexité
Corpus Corpus 1
&Eacute tudier la convexit&eacute d&rsquo une courbe

FB_Bac_98616_MatT_LES_013

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Rappels de cours

1Concavit&eacute et convexit&eacute d&rsquo une courbe

Soit une fonction d&eacute rivable sur un intervalle . On dit que est convexe (resp. concave) sur lorsque sa courbe est enti&egrave rement situ&eacute e au-dessus (resp. au-dessous) de chacune de ses tangentes.


2Propri&eacute t&eacute s de la convexit&eacute et de la concavit&eacute

&thinsp Si est convexe sur , alors est concave sur .

&thinsp est convexe sur si, et seulement si, est croissante sur .

&thinsp Si est deux fois d&eacute rivable sur , alors est convexe sur si et seulement si, pour tout , .

M&eacute thodes

Visualiser la convexit&eacute sur une courbe

Donner les intervalles sur lesquels la courbe est convexe et ceux sur lesquels elle est concave.


Conseils
  • On imagine ou on trace quelques tangentes &agrave la courbe. Si celles-ci sont au-dessous de la courbe, la courbe est convexe. Sinon, elle est concave.
  • Un autre moyen est d&rsquo imaginer un v&eacute lo se d&eacute pla&ccedil ant sur la courbe dans le sens des abscisses croissantes  :

&ndash si le guidon est tourn&eacute vers la gauche, la courbe est convexe 

&ndash s&rsquo il est tourn&eacute vers la droite, la courbe est concave.

Solution

La courbe est convexe sur et sur .

Elle est concave sur .

Montrer qu&rsquo une fonction est convexe

Soit d&eacute finie sur par  : 

.

Montrer que est convexe.

Conseils
  • On montre que est strictement croissante sur un intervalle (attention  : ne pas confondre avec strictement positive).
  • Une possibilit&eacute est de calculer la d&eacute riv&eacute e seconde (la d&eacute riv&eacute e de la d&eacute riv&eacute e) et de montrer que celle-ci est positive.
Solution

Apr&egrave s calculs, on obtient  :

,&ensp

puis.

Puisque est strictement positive sur , est strictement croissante sur , ce qui signifie que est convexe sur .

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