Étudier la convexité d’une courbe

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Convexité
Corpus Corpus 1
Étudier la convexité d’une courbe

FB_Bac_98616_MatT_LES_013

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Rappels de cours

1Concavité et convexité d’une courbe

Soit une fonction dérivable sur un intervalle . On dit que est convexe (resp. concave) sur lorsque sa courbe est entièrement située au-dessus (resp. au-dessous) de chacune de ses tangentes.


2Propriétés de la convexité et de la concavité

► Si est convexe sur , alors est concave sur .

► est convexe sur si, et seulement si, est croissante sur .

► Si est deux fois dérivable sur , alors est convexe sur si et seulement si, pour tout , .

Méthodes

Visualiser la convexité sur une courbe

Donner les intervalles sur lesquels la courbe est convexe et ceux sur lesquels elle est concave.


Conseils
  • On imagine ou on trace quelques tangentes à la courbe. Si celles-ci sont au-dessous de la courbe, la courbe est convexe. Sinon, elle est concave.
  • Un autre moyen est d’imaginer un vélo se déplaçant sur la courbe dans le sens des abscisses croissantes :

– si le guidon est tourné vers la gauche, la courbe est convexe ;

– s’il est tourné vers la droite, la courbe est concave.

Solution

La courbe est convexe sur et sur .

Elle est concave sur .

Montrer qu’une fonction est convexe

Soit définie sur par : 

.

Montrer que est convexe.

Conseils
  • On montre que est strictement croissante sur un intervalle (attention : ne pas confondre avec strictement positive).
  • Une possibilité est de calculer la dérivée seconde (la dérivée de la dérivée) et de montrer que celle-ci est positive.
Solution

Après calculs, on obtient :

, 

puis.

Puisque est strictement positive sur , est strictement croissante sur , ce qui signifie que est convexe sur .

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