FB_Bac_98616_MatT_LES_013
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Rappels de cours
1
Soit 
une fonction dérivable sur un intervalle 
. On dit que 
est 
lorsque sa courbe est entièrement située au-dessus (resp. au-dessous) de chacune de ses tangentes.
2
est convexe sur 
, alors 
est concave sur 
.
est convexe sur 
si, et seulement si, 
est croissante sur 
.
est deux fois dérivable sur 
, alors 
est convexe sur 
si et seulement si, pour tout 
, 
.
Méthodes
Visualiser la convexité sur une courbe
Donner les intervalles sur lesquels la courbe est convexe et ceux sur lesquels elle est concave.
- On imagine ou on trace quelques tangentes à la courbe. Si celles-ci sont au-dessous de la courbe, la courbe est convexe. Sinon, elle est concave.
- Un autre moyen est d’imaginer un vélo se déplaçant sur la courbe dans le sens des abscisses croissantes :
– si le guidon est tourné vers la gauche, la courbe est convexe
– s’il est tourné vers la droite, la courbe est concave.
La courbe est convexe sur 
et sur 
.
Elle est concave sur 
.
Montrer qu’une fonction est convexe
Soit 
définie sur 
par :
.
Montrer que 
est convexe.
- On montre que
est strictement croissante sur un intervalle (attention : ne pas confondre avec strictement positive). - Une possibilité est de calculer la dérivée seconde
(la dérivée de la dérivée) et de montrer que celle-ci est positive.
Après calculs, on obtient :
,
puis
.
Puisque 
est strictement positive sur 
, 
est strictement croissante sur 
, ce qui signifie que 
est convexe sur 
.
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