Étudier la fonction exp

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Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Corpus Corpus 1
Étudier la fonction exp

FB_Bac_98616_MatT_LES_018

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Rappels de cours

1Définition et dérivée de la fonction exp


 La fonction exp est la seule fonction exponentielle (>fiche17) dont le nombre dérivé en est .

On note e l’image de 1 par cette fonction . Ainsi, est la fonction .

 La fonction est définie et dérivable sur . Sa dérivée est elle-même :

 Elle est strictement croissante et convexe sur .

Pour tout réel , .

2Propriétés algébriques

La fonction exponentielle transforme les sommes en produits.

 Ainsi, pour tous réel x et y :

 Pour tout réel  :

 Pour tous réels et  : et 

Méthodes

Simplifier une expression

Montrer que pour tout réel :

Conseils

Pour simplifier une expression, il faut garder en tête les relations :

et .

Solution

Pour tout réel :

Calculer une dérivée contenant des exponentielles

On considère la fonction définie sur par :

.

Calculer.

Conseils

Comme pour tout calcul de dérivée, on se demande si l’expression étudiée est un produit, un quotient,…, afin de bien choisir la formule de dérivation. Ici, il s’agit d’un produit.

Après avoir dérivé, prendre soin de réduire l’expression trouvée.

Solution

En notant et , on a :

et ,

ce qui donne .

On factorise par :

.

Enfin (ce n’est pas indispensable), on factorise par 0,04 :

.

Étudier les variations d’une fonction contenant

Étudier les variations de la fonction définie sur par :

.

Conseils

est toujours strictement positif : étude de signe simplifiée.

Solution

On sait que . Comme pour tout x réel, le signe de est celui de  : si , alors  ; si , alors .

On en déduit que est croissante sur et décroissante sur .

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