Étudier la fonction ln

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Corpus Corpus 1
Étudier la fonction ln

FB_Bac_98616_MatT_LES_020

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Rappels de cours

1 Domaine de définition et dérivée de ln


 La fonction logarithme népérien est définie et dérivable sur . Elle se note ln.

 Elle est strictement croissante et concave sur .

 Sa fonction dérivée est la fonction inverse :

2Propriétés algébriques

 Pour tout réel et pour tout réel y :

et .

 Pour tout x réel :

 Pour tout x réel strictement positif :

Méthodes

Résoudre des équations simples

Résoudre les équations :

a. ;b. ;

c. ;d..

Conseils

Les deux modèles de base sont à connaître absolument :

  • pour tout réel a,  ;
  • si , .
Solution

a..b..

c..d. n’admet pas de solution.

Résoudre des équations

Une société achète un camion à un instant . L’investissement initial se monte à 100 000 . La dépréciation cumulée en milliers d’euros, à l’instant qui s’exprime en années, est :

.

Déterminer l’instant pour lequel l’investissement perd la moitié de sa valeur initiale.

Conseils

On demande de résoudre l’équation . Pour cela, on fait en sorte d’isoler le terme afin d’utiliser l’une des deux propriétés de la fonction logarithme : si , .

Solution

l’investissement perd la moitié de sa valeur initiale après un peu plus de 4 années.

remarque Le résultat s’écrit plus simplement en tenant compte d’une propriété sur le logarithme népérien (>fiche21) :

.

Calculer la dérivée d’une fonction contenant

Soit la fonction définie sur par .

Calculer .

Conseils

Il s’agit d’un quotient. En posant , on a .

Solution

Pour tout  : .

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