Étudier la fonction ln

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Corpus Corpus 1
&Eacute tudier la fonction ln

FB_Bac_98616_MatT_LES_020

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Rappels de cours

1  Domaine de d&eacute finition et d&eacute riv&eacute e de ln


&thinsp La fonction logarithme n&eacute p&eacute rien est d&eacute finie et d&eacute rivable sur . Elle se note ln.

&thinsp Elle est strictement croissante et concave sur .

&thinsp Sa fonction d&eacute riv&eacute e est la fonction inverse  :

2Propri&eacute t&eacute s alg&eacute briques

&thinsp Pour tout r&eacute el et pour tout r&eacute el y  :

&thinsp et .

&thinsp Pour tout x r&eacute el  :

&thinsp Pour tout x r&eacute el strictement positif  :

M&eacute thodes

R&eacute soudre des &eacute quations simples

R&eacute soudre les &eacute quations  :

a.b.

c.d..

Conseils

Les deux mod&egrave les de base sont &agrave conna&icirc tre absolument  :

  • pour tout r&eacute el a,
  • si , .
Solution

a..b..

c..d. n&rsquo admet pas de solution.

R&eacute soudre des &eacute quations

Une soci&eacute t&eacute ach&egrave te un camion &agrave un instant . L&rsquo investissement initial se monte &agrave 100  000  &euro . La d&eacute pr&eacute ciation cumul&eacute e en milliers d&rsquo euros, &agrave l&rsquo instant qui s&rsquo exprime en ann&eacute es, est  :

.

D&eacute terminer l&rsquo instant pour lequel l&rsquo investissement perd la moiti&eacute de sa valeur initiale.

Conseils

On demande de r&eacute soudre l&rsquo &eacute quation . Pour cela, on fait en sorte d&rsquo isoler le terme afin d&rsquo utiliser l&rsquo une des deux propri&eacute t&eacute s de la fonction logarithme  : si , .

Solution

l&rsquo investissement perd la moiti&eacute de sa valeur initiale apr&egrave s un peu plus de 4 ann&eacute es.

remarque  Le r&eacute sultat s&rsquo &eacute crit plus simplement en tenant compte d&rsquo une propri&eacute t&eacute sur le logarithme n&eacute p&eacute rien (&gt fiche21)  :

.

Calculer la d&eacute riv&eacute e d&rsquo une fonction contenant

Soit la fonction d&eacute finie sur par .

Calculer .

Conseils

Il s&rsquo agit d&rsquo un quotient. En posant , on a .

Solution

Pour tout   : .

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