Étudier la position relative de droites et de plans

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace
Corpus Corpus 1
Étudier la position relative de droites et de plans

FB_Bac_98617_MatT_S_048

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Rappels de cours

1Positions relatives de deux droites dans l’espace

Deux droites de l’espace peuvent être coplanaires (elles sont alors parallèles ou sécantes) ou non coplanaires (elles n’ont alors aucun point en commun).

remarque Dans l’espace, deux droites n’ayant aucun point en commun ne sont pas nécessairement parallèles.

2Positions relatives d’une droite et d’un plan

Une droite et un plan peuvent :

  • n’avoir aucun point en commun. Alors ils sont parallèles.
  • avoir un seul point en commun. Dans ce cas, la droite perce le plan.
  • avoir une infinité de points en commun. La droite est alors incluse dans le plan.

3Positions relatives de trois plans

On considère trois plans , et .

 Si et sont parallèles, alors et peuvent être soit parallèles soit sécants. Dans ces deux cas, il n’existe aucun point commun aux trois plans.

 Si et sont sécants selon une droite , alors :

  • si est parallèle à , il n’existe aucun point commun aux trois plans ;
  • si perce en , alors les trois plans ont un point commun unique ;
  • si est incluse dans , alors les trois plans ont une infinité de points en commun : les points de la droite .

Théorème du toit : Soit et deux plans sécants selon une droite . Si une droite de est parallèle à une droite de , alors est parallèle à et à .

4Orthogonalité de droites et de plans

 Dire qu’une droite est orthogonale à une droite signifie qu’il existe une droite parallèle à qui est perpendiculaire à (et donc et sont coplanaires).

à noter ! Si, de plus, et sont sécantes, alors elles sont perpendiculaires.

 Dire qu’une droite est orthogonale à un plan signifie qu’elle est orthogonale à toute droite du plan.

Théorème Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Méthode

Déterminer les positions relatives de droites et de plans


Dans un plan , on considère un cercle de diamètre . Soit la droite orthogonale à en et un point de distinct de . On considère un point de distinct de et .

1. Montrer que la droite est incluse dans le plan .

2. Montrer que est perpendiculaire à et orthogonale à .

3. Montrer que .

Conseils

2. Rappelez-vous d’un théorème de quatrième.

3. Démontrez que est orthogonale au plan .

Solution

1. passe par et donc est contenue dans le plan .

2. D’une part, le triangle est inscrit dans le cercle et un de ses côtés est un diamètre de ce cercle. Donc il est rectangle en . Par conséquent, la droite est perpendiculaire à .

D’autre part, étant orthogonale à , elle est orthogonale à toute droite de , en particulier à .

3. étant orthogonale à deux droites sécantes du plan , elle est orthogonale à ce plan, et donc orthogonale à toute droite contenue dans ce plan, en particulier à . Ces deux droites étant sécantes, elles sont perpendiculaires.

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