Étudier le comportement asymptotique

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions
Corpus Corpus 1
Étudier le comportement asymptotique

FB_Bac_98617_MatT_S_009

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Rappels de cours

1Définition

Dire que la droite d’équation est asymptote à une courbe (d’équation ) en (ou ) signifie que la distance entre la courbe et la droite tend vers 0 quand tend vers (ou ).

2Cas particuliers


  • Dire que la droite d’équation est asymptote à en signifie qu’il est possible d’écrire est une fonction tendant vers 0 quand tend vers .

Il en est de même en .

  • Si , l’asymptote est parallèle à l’axe des abscisses (asymptote horizontale).
  • Dire que la droite d’équation est asymptote à signifie que ou ou . L’asymptote est alors parallèle à l’axe des ordonnées.

3Asymptotes en , en et en

 Quand tend vers ou , il y a trois cas :

1. Si la limite de f est infinie, il est possible que ait une asymptote oblique (mais ce n’est pas certain : par exemple si ).

2. Si la limite est finie , a une asymptote horizontale dont l’équation est .

3. Si la limite n’existe pas, n’a pas d’asymptote.

exemple Si , n’a pas d’asymptote car change constamment de signe quand tend vers , ou .

 Quand tend vers une valeur « interdite » , la courbe peut avoir une asymptote verticale d’équation , mais ce n’est pas toujours le cas.

exemple Pour , n’a pas d’asymptote en 0 car .

Méthode

Déterminer l’équation d’une asymptote

1. Trouver l’asymptote oblique à la courbe d’équation .

2. Démontrer que coupe une infinité de fois son asymptote.

Conseil

1. On démontrera notamment que .

Solution

1. Pour tout , on a . Donc, pour tout  :

. En outre : , donc, d’après le théorème des gendarmes, .

Par ailleurs, .

Il en résulte que .

Cela prouve que la droite d’équation est asymptote à en . Un raisonnement analogue montre qu’elle est aussi asymptote à en .

En conclusion, a une asymptote oblique en et en d’équation .

2. Les points d’intersection de et sont les solutions de l’équation , équivalente à donc . Cette équation a une infinité de solutions qui sont les nombres de la forme . Cela prouve que coupe une infinité de fois son asymptote oblique.

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