Étudier les fonctions trigonométriques

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions
Corpus Corpus 1
Étudier les fonctions trigonométriques

FB_Bac_98617_MatT_S_014

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Rappels de cours

1Propriétés des fonctions sinus et cosinus

 Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur .

 Pour tout ,  ;

et .

 Pour tout réel , et .

2Variations et représentations graphiques (sinusoïdes)

 Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période .

Pour tout réel x, et et pour , et .

 La fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire : pour tout réel , on a et .



 Voici le tableau des valeurs remarquables à connaître.









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Méthode

Étudier la fonction tangente

Pour tout réel distinct de , on définit la fonction tangente par . Soit son ensemble de définition.

1. Montrer que, pour tout , et que la fonction tan est impaire. Étudier les variations de tan sur .

2. Déterminer et interpréter le résultat.

Conseil

2. On pourra penser à une asymptote verticale. (>fiche9)

Solution

1. Pour tout x ,

donc est périodique de période .

Par ailleurs,

donc est impaire.

Puisqu’elle est périodique de période et impaire, on peut étudier tan sur . On déduira sa courbe par symétrie et translation.

En dérivant comme un quotient, on obtient, pour tout

Puisque sa dérivée est positive, tan croît sur .

2. Quand , on a : et .

C’est pourquoi par quotient et règle des signes.

Il en résulte que la courbe de la fonction tan a une asymptote verticale d’équation sur . (>rabat,II)

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