Étudier les nombres premiers

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique
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Étudier les nombres premiers

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Rappels de cours

1Définition et propriétés

à noter ! Il n’y a qu’un seul nombre premier pair : 2.

Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs.

  • Le nombre 1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur : 1.
  • Les deux diviseurs d’un nombre premier sont 1 et lui-même.
  • Il y a une infinité de nombres premiers.

théorème Soit un nombre entier au moins égal à 2.

Le plus petit diviseur de autre que 1 est un nombre premier.

Donc, tout nombre strictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier.

2Nombres premiers et nombres premiers entre eux

attention ! Faites bien la différence entre un nombre premier et deux nombres premiers entre eux.

Deux nombres premiers distincts sont premiers entre eux.

3Décomposition des nombres premiers et PGCD

 Tout entier naturel strictement supérieur à 1 se décompose de manière unique en un produit de puissances de nombres premiers.

Plus précisément : il existe nombres premiers uniques et entiers strictement positifs uniques tels que :

 Le PGCD de deux entiers et est égal à 1 ou au produit des nombres premiers communs aux deux décompositions élevés chacun à la plus petite puissance.

exemple Si et , alors :

.

Méthode

Construire un « désert » de nombres premiers

1. Soit un entier naturel au moins égal à 2. On considère les nombres , .

Montrer qu’aucun de ces nombres n’est premier.

2. En déduire que l’on peut trouver une liste d’entiers consécutifs aussi longue que l’on veut ne contenant aucun nombre premier.

3. (Question indépendante de la précédente). Le théorème de Wilson affirme qu’un nombre est premier si, et seulement si, . Vérifier ce théorème pour et

Conseils

1. On sait que .

3. Même si 6 n’est pas premier, on peut utiliser le théorème.

Solution

rappel

1. est divisible par 2, ce qui implique que est aussi divisible par 2.

De la même façon, on démontre que, étant divisible par pour allant de 2 à , alors est aussi divisible par 
donc  n’est pas premier.

2. Soit un entier naturel supérieur à 2. La liste précédente fournit n nombres consécutifs tous non premiers.

3. On utilise


p


5


6


7


( p– 1)! + 1


25


121


721

D’une part, on a bien et, puisque , on a également .

D’autre part, 121 n’est pas divisible par 6 . Et, en effet, 6 n’est pas premier.

Le théorème peut s’énoncer ainsi : un entier n’est pas premier si, et seulement si, n’est pas divisible par .

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