Étudier les positions relatives de deux droites

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Equations de droites


Rappels de cours

Le plan est muni d’un repère.

1 Droites parallèles à l’axe des ordonnées

Deux droites d’équations respectives x=c1 et x=c2 (c1 et c2 réels) sont soit strictement parallèles (c1c2) soit confondues (c1=c2).

2 Droite parallèle à l’axe des ordonnées et droite non parallèle à l’axe des ordonnées

Deux droites d’équations respectives x=c et y=ax+b (a, b et c réels) sont sécantes. Leur point d’intersection est le point d’abscisse c et d’ordonnée a×c+b.

exemple Les droites d1:x=7 et d2:y=2x+11 sont sécantes.

Elles se coupent au point d’abscisse – 7 et d’ordonnée 3.

3 Droites non parallèles à l’axe des ordonnées

Deux droites d’équations respectives y=a1x+b1 et y=a2x+b2 (a1, b1, a2 et b2 réels) sont :

Sécantes si et seulement si leurs coefficients directeurs sont différents (a1a2).

Remarque : Le point d’intersection de ces droites est le point dont les coordonnées vérifient simultanément les deux équations.

Parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux.

Remarque : Si de plus, b1=b2, les droites ont la même équation et sont ainsi confondues. Sinon, elles sont strictement parallèles.

Méthodes

Déterminer une équation de droite sous contrainte

Déterminer une équation de la droite D1, parallèle à la droite D2 d’équation y=4x3 et qui passe par le point A(7;24).

Conseils

N’oubliez pas qu’un point appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées en vérifient une équation.

 

Solution

Comme D1 et D2 sont parallèles, leurs coefficients directeurs sont égaux. D1 admet alors une équation de la forme y=4x+b. Comme AD1, yA=4×xA+b, soit 24=4×7+b et b=4. Ainsi, une équation de D1 est y=4x+4.

Déterminer les coordonnées d’un point d’intersection

Soit D3 : y=x+2 et D4 : y=3x+6. Justifier que D3 et D4 sont sécantes et déterminer les coordonnées du point d’intersection.

Conseils

Traduisez l’appartenance du point d’intersection à D3 et D4 par un système de deux équations à deux inconnues à résoudre.

 

Solution

Comme D3 et D4 ont des coefficients directeurs différents (1 3), D3 et D4 sont sécantes en un point que l’on note K. Comme KD3, on a yK=xK+2.

Comme KD4, on a yK=3xK+6. Or,

{yK=xK+2yK=3xK+6{yK=xK+2xK+2=3xK+6{yK=xK+24xK=4{yK=1+2=3xK=1

Le point K a ainsi pour coordonnées (1;3).

Démontrer que des droites sont parallèles

Soit A(2;3), B(1;5), C(1;2) et D(8;4).

Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Conseils

Déterminez le coefficient directeur de chaque droite. Concluez.

 

Solution

Comme xAxB et xCxD, (AB) et (CD) ne sont pas parallèles à l’axe des ordonnées. Leurs coefficients directeurs sont respectivement :

yByAxBxA=531(2)=23 et yDyCxDxC=4(2)8(1)=69=23.

Ces coefficients directeurs étant égaux, (AB) et (CD) sont parallèles.