Étudier les variations d’une fonction

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Fiches
Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Étude de fonctions
Corpus Corpus 1
Étudier les variations d’une fonction

FB_Bac_99063_Mat1_S_011

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Rappels de cours

1 Sens de variation et opérations sur les fonctions

? Soient une fonction définie sur un intervalle et deux réels.

  • Les fonctions et ont les mêmes sens de variation sur
  • Si les fonctions et ont les mêmes sens de variation sur?
  • Si les fonctions et ont des sens de variation contraires sur?

exemple?Soit la fonction définie sur par

La fonction est de la forme désigne la fonction valeur absolue, et Comme la fonction est croissante sur et décroissante sur (sens de variation contraires à ceux de la fonction valeur absolue).

À noter?! Cette propriété reste valable en?remplaçant «?positive?» par «?négative?».

? Soit une fonction définie et strictement positive sur un intervalle

Les fonctions et ont des sens de variation contraires sur?

exemple?Soit la fonction définie sur par

La fonction définie sur par est strictement positive?: pour tout réel . La fonction étant un trinôme du second degré () avec (>?Fiche?1), est décroissante sur et croissante sur La fonction est donc croissante sur et décroissante sur

? Soit une fonction définie et positive sur un intervalle

Les fonctions et ont les mêmes sens de variation sur

2 Sens de variation et étude de signe de la dérivée

Soit une fonction dérivable sur un intervalle ouvert

  • Si pour tout réel de alors est croissante sur
  • Si pour tout réel de alors est décroissante sur
  • Si pour tout réel de alors est constante sur

remarque Les propriétés réciproques sont également vraies.

Méthodes

Étudier les variations d’une fonction sans dériver

Soit la fonction définie sur par

Déterminer les variations de sur l’intervalle

Conseils

Commencez par déterminer les variations de la fonction définie sur par

Solution
  • La fonction qui à tout réel de associe est positive sur En effet, Comme cette fonction est une fonction affine avec (à titre indicatif ), elle est croissante sur Ainsi, la fonction qui à tout réel de associe est également croissante sur
  • La fonction est de la forme avec et Comme la fonction a le même sens de variation que la fonction

La fonction est donc croissante sur

Étudier les variations d’une fonction avec la dérivée

Étudier les variations de la fonction définie sur par

Conseils

Utilisez la formule pour dériver la fonction

Solution

La fonction est une fonction rationnelle, quotient des fonctions et définies sur par et Ces fonctions sont dérivables sur (fonctions polynômes) et leurs dérivées et sont données pour tout réel par et

Ainsi, est dérivable sur et sur et, pour tout on a?:

Comme pour tout réel est positif, la fonction est strictement croissante sur et sur

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