Étudier les variations d’une suite

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Fiches
Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Suites
Corpus Corpus 1
Étudier les variations d’une suite

FB_Bac_99063_Mat1_S_017

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Rappels de cours

Sens de variation d’une suite

? Une suite? est croissante si, pour tout entier naturel , 

? Une suite? est décroissante si, pour tout entier naturel , 

? Une suite? est constante si, pour tout entier naturel , 

? Une suite est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante, soit constante.

À savoir?! Une suite peut être monotone à partir d’un indice p non nul. Dans ce cas, on remplacera dans les définitions précédentes «?pour tout entier naturel n?» par «?pour tout entier naturel ?».

exemple Considérons la suite définie pour tout entier naturel par?: Pour tout entier naturel ?:

Ainsi . La suite est donc croissante.

Méthodes

Étudier le sens de variation d’une suite?: la?méthode?classique

Soit la suite définie pour tout entier naturel par

Étudier le sens de variation de .

Conseils

Étudiez, pour tout entier naturel , le signe de la différence .

Solution

À NOTER?! Il est sous-entendu que la suite est croissante à partir de l’indice 0.

Pour tout entier naturel ?:

La suite est donc croissante.

Étudier le sens de variation d’une suite?: comparaison d’un quotient à 1

Soit la suite définie pour tout entier naturel par .

Étudier les variations de la suite .

Conseils

Tous les termes de la suite étant strictement positifs, comparez le quotient à 1.

Solution

Pour tout entier naturel ?:

Comme et ainsi , soit . La suite est donc croissante.

Étudier le sens de variation d’une suite à l’aide d’une fonction

Soit la suite définie pour tout entier naturel par .

Étudier les variations de la suite .

Conseils

Étudiez les variations d’une fonction rationnelle qui induiront celles de la suite .

Solution

Pour tout entier naturel , nous avons est la fonction définie sur par . La fonction est une fonction rationnelle définie sur , elle est donc dérivable sur cet intervalle. Pour tout ?:

La fonction est donc décroissante sur .

La suite est donc décroissante.

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