Étudier une suite arithmético‑géométrique

Merci !

Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Suites
Corpus Corpus 1
Étudier une suite arithmético‑géométrique

FB_Bac_98616_MatT_LES_005

5

17

1

Rappels de cours

 Les suites arithmético-géométriques sont définies par une relation de récurrence du type :

a est un réel différent de 0 et de 1 et b un réel différent de 0.

 Malgré leur nom, les suites arithmético-géométriques ne sont, en général, ni arithmétiques ni géométriques. Les formules spécifiques aux suites arithmétiques et aux suites géométriques ne pourront donc pas être appliquées aux suites arithmético-géométriques.

 Si ou ou si , une suite arithmético-géométrique se ramène à une suite arithmétique ou à une suite géométrique (>fiche1) :

  • si, (un) est une suite géométrique de raison  ;
  • si, (un) est une suite constante ;
  • si, (un) est une suite arithmétique de raison .

Méthodes

Modéliser une situation à l’aide d’une suite arithmético-géométrique

On considère un stock d’ordinateurs à recycler. Chaque mois, ce stock diminue de 30 % (les objets partent au recyclage) mais 400 nouveaux ordinateurs arrivent à l’entrepôt.

Modéliser cette situation à l’aide d’une suite et de sa relation de récurrence.

Conseils

Un pourcentage d’évolution se traduit par une multiplication (>fiche42), on obtient ainsi le coefficient . La quantité constante donne le coefficient .

Solution

On note le nombre d’ordinateurs en stock lors d’un mois donné n.

Alors le stock d’ordinateurs le mois suivant est .

Pour l’obtenir, le stock le mois précédent est multiplié par 0,7 afin de tenir compte de la baisse mensuelle de 30 %, puis on lui ajoute 400.

Ainsi, .

Étudier une suite arithmético-géométrique

Soit une suite définie par et, pour tout entier naturel n :

.

On pose .

Montrer que est une suite géométrique.

En déduire l’expression de en fonction de .

Conseils
  • L’étude d’une suite arithmético-géométrique s’effectue à l’aide d’une suite auxiliaire que l’on démontre être est géométrique. Aucune méthode n’est à connaître pour trouver la suite auxiliaire qui sera toujours donnée dans l’énoncé d’un exercice.
  • Après avoir démontré que la suite auxiliaire est géométrique, on exprime en fonction de (>fiche1), puis on obtient facilement en fonction de .
Solution

Pour tout entier naturel n :

Ainsi, est une suite géométrique de raison et de premier terme :

.

Pour tout entier naturel n : .

À l’aide de la relation , on obtient en fonction de  :

.

remarque Puisque est une suite géométrique de raison strictement comprise entre et , sa limite est . On en déduit que la limite de est .

>>