Étudier une suite arithmético‑géométrique

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Suites
Corpus Corpus 1
&Eacute tudier une suite arithm&eacute tico‑ g&eacute om&eacute trique

FB_Bac_98616_MatT_LES_005

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Rappels de cours

&thinsp Les suites arithm&eacute tico-g&eacute om&eacute triques sont d&eacute finies par une relation de r&eacute currence du type  :

o&ugrave a est un r&eacute el diff&eacute rent de 0 et de 1 et b un r&eacute el diff&eacute rent de 0.

&thinsp Malgr&eacute leur nom, les suites arithm&eacute tico-g&eacute om&eacute triques ne sont, en g&eacute n&eacute ral, ni arithm&eacute tiques ni g&eacute om&eacute triques. Les formules sp&eacute cifiques aux suites arithm&eacute tiques et aux suites g&eacute om&eacute triques ne pourront donc pas &ecirc tre appliqu&eacute es aux suites arithm&eacute tico-g&eacute om&eacute triques.

&thinsp Si ou ou si , une suite arithm&eacute tico-g&eacute om&eacute trique se ram&egrave ne &agrave une suite arithm&eacute tique ou &agrave une suite g&eacute om&eacute trique (&gt fiche1)  :

  • si, (un) est une suite g&eacute om&eacute trique de raison
  • si, (un) est une suite constante 
  • si, (un) est une suite arithm&eacute tique de raison .

M&eacute thodes

Mod&eacute liser une situation &agrave l&rsquo aide d&rsquo une suite arithm&eacute tico-g&eacute om&eacute trique

On consid&egrave re un stock d&rsquo ordinateurs &agrave recycler. Chaque mois, ce stock diminue de 30  % (les objets partent au recyclage) mais 400  nouveaux ordinateurs arrivent &agrave l&rsquo entrep&ocirc t.

Mod&eacute liser cette situation &agrave l&rsquo aide d&rsquo une suite et de sa relation de r&eacute currence.

Conseils

Un pourcentage d&rsquo &eacute volution se traduit par une multiplication (&gt fiche42), on obtient ainsi le coefficient . La quantit&eacute constante donne le coefficient .

Solution

On note le nombre d&rsquo ordinateurs en stock lors d&rsquo un mois donn&eacute n.

Alors le stock d&rsquo ordinateurs le mois suivant est .

Pour l&rsquo obtenir, le stock le mois pr&eacute c&eacute dent est multipli&eacute par 0,7 afin de tenir compte de la baisse mensuelle de 30  %, puis on lui ajoute 400.

Ainsi, .

&Eacute tudier une suite arithm&eacute tico-g&eacute om&eacute trique

Soit une suite d&eacute finie par et, pour tout entier naturel n  :

.

On pose .

Montrer que est une suite g&eacute om&eacute trique.

En d&eacute duire l&rsquo expression de en fonction de .

Conseils
  • L&rsquo &eacute tude d&rsquo une suite arithm&eacute tico-g&eacute om&eacute trique s&rsquo effectue &agrave l&rsquo aide d&rsquo une suite auxiliaire que l&rsquo on d&eacute montre &ecirc tre est g&eacute om&eacute trique. Aucune m&eacute thode n&rsquo est &agrave conna&icirc tre pour trouver la suite auxiliaire qui sera toujours donn&eacute e dans l&rsquo &eacute nonc&eacute d&rsquo un exercice.
  • Apr&egrave s avoir d&eacute montr&eacute que la suite auxiliaire est g&eacute om&eacute trique, on exprime en fonction de (&gt fiche1), puis on obtient facilement en fonction de .
Solution

Pour tout entier naturel n  :

Ainsi, est une suite g&eacute om&eacute trique de raison et de premier terme  :

.

Pour tout entier naturel n  : .

&Agrave l&rsquo aide de la relation , on obtient en fonction de   :

.

remarque  Puisque est une suite g&eacute om&eacute trique de raison strictement comprise entre et , sa limite est . On en d&eacute duit que la limite de est .

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