Terminale générale Physique-chimie Gaz parfait et bilans d'énergie

Un système peut voir sa température T varier entre un état initial et un état final. Il existe un modèle mathématique qui permet de déterminer l'évolution temporelle de cette température.

I Bilan d'énergie d'un système incompressible

Un système incompressible (c'est-à-dire dont le volume ne peut pas varier) et au contact d'un thermostat échange uniquement de l'énergie thermique Q. Si on note C la capacité thermique de ce système, le premier principe de la thermodynamique donne la variation de l'énergie interne U d'un tel système :

Mot clé

Un thermostat est un système qui peut échanger de la chaleur afin de garder sa température constante au cours du temps.

$Δ U = Q = C \times Δ T = C \times (T_{final} - T_{initial})$

La température du système, initialement à une valeur T_initial = T₀, évolue pour atteindre la valeur T_final = T_thermostat.

La loi phénoménologique de Newton, indique que la variation temporelle de la température T d'un système incompressible (c'est-à-dire dont le volume ne peut pas varier) est proportionnelle à la différence de température entre le système et le milieu environnant considéré comme un thermostat de température :

Tableau de 1 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 1 lignes ;Ligne 1 : dTtdt=−α×Tt−Tthermostat; T et Tthermostat en kelvins (K) ;α en s−1 ;t en secondes (s).;

α est une constante positive caractéristique du système.

II Modélisation de l'évolution de la température d'un système

La loi de Newton est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants avec un second membre constant :

$\frac{d T (t)}{d t} = - α \times (T (t) - T_{thermostat}) \Leftrightarrow \frac{d T (t)}{d t} + α \times T (t) = α \times T_{thermostat}$ .

La solution d'une telle équation différentielle a pour expression :

$T (t) = A + B \times e^{- α t}$

Les coefficients A et B sont déterminés à partir de la condition initiale et de la condition finale associées à la température T(t) : T(0) = T₀ et T( $t \to \infty$ ) = T_thermostat.

La solution de la loi de Newton a pour expression :

$T (t) = T_{thermostat} + (T_{0} - T_{thermostat}) \times e^{- α t}$

Méthode

Suivre et modéliser l'évolution d'une température

Un système incompressible possède une température initiale t = 20 °C. On le met au contact d'un thermostat dont la température est égale à 40 °C.

a. Quelle sera la température finale du système ?

b. Déterminer l'expression de la température en fonction du temps, solution de l'équation différentielle associée à la loi de Newton :

$\frac{d T (t)}{d t} = - α \times (T (t) - T_{thermostat})$ .

c. Sachant que le coefficient α est égal à 0,30 min⁻¹, calculer la valeur de la température du système au bout d'une durée égale à 200 secondes.

Conseils

a. Rappelez-vous qu'un thermostat est un système dont la température reste constante au cours du temps.

b. Rappelez-vous que la solution générale a pour expression :

$T (t) = A + B \times e^{- α t}$ .

c. Pensez à convertir α en s⁻¹ : 1 min⁻¹ = $\frac{1}{60}$ s⁻¹.

Solution

a. La température finale du système est égale à celle du thermostat : 40 °C.

b. La solution générale a pour expression $T (t) = A + B \times e^{- α t}$ .

On exprime la condition initiale et la condition finale associées à la température $T (t)$ pour trouver A et B : T(0) = T₀ et T( $t \to \infty$ ) = T_thermostat

$T (0) = T_{0} \Leftrightarrow A + B \times e^{- α \times 0} = T_{0} \Leftrightarrow A + B = T_{0}$

$\lim_{t \to \infty} (A + B \times e^{- α t}) = T_{thermostat} \Leftrightarrow A + B \times 0 = T_{thermostat} \Leftrightarrow A = T_{thermostat}$ .

On en déduit : $A + B = T_{0} \Leftrightarrow T_{thermostat} + B = T_{0} \Leftrightarrow B = T_{0} - T_{thermostat}$ .

L'expression de $T (t)$ est donc :

$T (t) = T_{thermostat} + (T_{0} - T_{thermostat}) \times e^{- α t}$

c. On convertit α en s⁻¹ :

α = 0,30 min⁻¹ = $\frac{0,30}{60}$ s⁻¹ = 5,0 × 10⁻³ s⁻¹.

La température en fonction du temps a pour expression :

$T (t) = 40 + (20 - 40) \times e^{- α t} = 40 - 20 \times e^{- 5,0 \times 10^{- 3} \times t}$ .

On calcule la température du système au bout d'une durée égale à 200 secondes :

$T (t = 200) = 40 - 20 \times e^{- 5,0 \times 10^{- 3} \times 200} = 33 ° C$ .

Évolution de la température d'un système