Exploiter l’équation cartésienne d’un plan

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Vecteurs dans l'espace et produit scalaire
Corpus Corpus 1
Exploiter l’équation cartésienne d’un plan

FB_Bac_98617_MatT_S_052

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Rappels de cours

On se place dans un repère orthonormé de l’espace.

1Équations cartésiennes d’un plan


Un vecteur normal à un plan est le vecteur directeur d’une droite orthogonale à ce plan.

 Soit un plan, un point de et un vecteur normal à .

Un point appartient à si et seulement si .

à noter ! C’est l’expression analytique du produit scalaire

Si on a , et , alors :

Cette dernière équation est de la forme .

 Réciproquement :

Soit , , et quatre nombres tels que .

Toute équation de la forme est une équation cartésienne d’un plan dont un vecteur normal a pour coordonnées  .

2Orthogonalité de plans et de droites

 Soit une droite de vecteur directeur et un plan contenant deux vecteurs non colinéaires et . La droite est orthogonale à  si et seulement si et .

 Deux plans de vecteurs normaux respectifs et sont orthogonaux si, et seulement si, .

Méthode

Trouver une équation cartésienne d’un plan médiateur

à noter ! Le plan médiateur est aussi l’ensemble des points équidistants de et .

Le plan médiateur d’un segment est le plan orthogonal à la droite et passant par le milieu de .

On considère les points et .

1. Trouver les coordonnées du milieu de .

2. En déduire une équation du plan médiateur de .

3. Vérifier que, pour tout point de , on a .

Conseil

2. Le vecteur est normal à , par définition.

Solution

1., de même pour yI et zI d’où .

2.Première méthode : On a , donc :

à noter! En multipliant par , on a aussi : .

Deuxième méthode : étant normal à , une équation de celui-ci est .

Puisque  : .

3. Soit un point de .

Or

Puisque , ses coordonnées vérifient : . On a bien , d’où .

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