Exploiter le signe d’un trinôme du second degré

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Fiches
Classe(s) : 1re S
Corpus Corpus 1
Exploiter le signe d’un trinôme du second degré

FB_Bac_99063_Mat1_S_003

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Rappels de cours

Signe d’un trinôme du second degré

Soit un trinôme défini sur par , .

 Si , pour tout réel , est du signe de  :


x





Signe de T (x)



signe de


 Si , pour tout , est du signe de  :


x







Signe de T (x)


signe de


0


signe de

À noter ! On a supposé dans le tableau ci-dessous que .

 Si , est du signe de  à l’extérieur des racines et  :


x









Signe de T (x)


signe de


0


signe de


0


signe de

Méthodes

Résoudre une inéquation du second degré

Résoudre dans l’inéquation .

Conseils

Ramenez-vous à l’étude du signe d’un trinôme.

Solution

Pour tout réel  : .

Soit le trinôme défini sur par .

Pour ce trinôme, nous avons , et ,
et .

donc le trinôme admet deux racines réelles distinctes :

et .

Comme , le signe de est donné par :


x









Signe de T (x)



0



0


L’ensemble solution cherché est donc .

Étudier la position relative de deux courbes

Dans un repère du plan, on considère la parabole 𝒫 d’équation et la droite 𝒟 d’équation .

Étudier les positions relatives de 𝒫 et 𝒟.

Conseils

Étudiez le signe de la différence .

Solution

Pour tout réel  :

Pour le trinôme T défini sur par , nous avons , et .

.

donc le trinôme admet deux racines réelles distinctes :

et .

Comme , le signe de est donné par :


x






2




Signe de T (x)




0



0



  • Sur les intervalles et , nous avons :

.


La parabole 𝒫 est donc située en dessous de la droite 𝒟.

  • Sur l’intervalle , nous avons :

. La parabole 𝒫 est donc située au-dessus de la droite 𝒟.

  • En et , nous avons La parabole 𝒫 et la droite 𝒟 se coupent aux points d’abscisses et .

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