Exploiter les coordonnées de vecteurs

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Coordonnées d'un point du plan. Vecteurs


Rappels de cours

Le plan est muni d’un repère (O, I, J).

1 Coordonnées d’un vecteur

 Soit u un vecteur. Les coordonnées du vecteur u sont les coordonnées du point M tel que u=OM.

exemple

02909_F32_01

Soient u et v deux vecteurs, M et N les points du plan tels que u=OM et v=ON.

Par lecture graphique :

u a pour coordonnées (4;1) ;

v a pour coordonnées (3;2).

 Soient A(xA;yA) et B(xB;yB) deux points du plan.

Le vecteur AB a pour coordonnées  (xBxA;yByA) .

 Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ces vecteurs ont les mêmes coordonnées.

2 Coordonnées d’une somme de vecteurs

Soient u et v deux vecteurs de coordonnées respectives (x;y) et (x;y). Le vecteur u+v a pour coordonnées  (x+x;y+y) .

3 Coordonnées du produit d’un vecteur par un réel

Soient u un vecteur de coordonnées (x;y) et λ un réel.

Le vecteur λu a pour coordonnées  (λx;λy) .

Méthodes

Démontrer la nature d’un quadrilatère

On considère les points A(4;3), B(2;1), C(6;9) et D(12;5). Démontrer que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.

Conseils

Calculez les coordonnées des vecteurs AB et CD puis comparez-les.

 

Solution

Le vecteur AB a pour coordonnées : (xBxA ; yByA)=(2(4) ;13)=(6 ;4).

Le vecteur CD a pour coordonnées

(xDxC ; yDyC)=(126 ; 59)=(6 ;4).

Comme AB et CD ont les mêmes coordonnées, AB=CD. Ainsi ABDC est un parallélogramme .

Déterminer les coordonnées d’un point

Soient les points E(5;3), F(11;1) et H(4;6). Déterminer les coordonnées de G tel que EFGH soit un parallélogramme.

Conseils

Calculez les coordonnées de EF, EH et EF+EH. Exprimez les coordonnées de EG en fonction des coordonnées de G puis concluez à l’aide de la règle du parallélogramme.

 

Solution

EF a pour coordonnées : (xFxEyFyE)=(11(5)1(3))=(16 4).

EH a pour coordonnées : (xHxEyHyE)=(4(5)6(3))=(19).

EF+EH a pour coordonnées : (xEF+xEHyEF+yEH)=(16+14+9)=(1713).

EG a pour coordonnées :

(xGxEyGyE)=(xG(5)yG(3))=(xG+5yG+3).

D’après la règle du parallélogramme , le point G vérifie l’égalité vectorielle EG=EF+EH. Les vecteurs EG et EF+EH étant égaux, ils ont les mêmes coordonnées. Ainsi, xG+5=17 et yG+3=13 ce qui implique que xG=12 et yG=10.