Exploiter une décomposition de vecteur

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Fiches
Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Géométrie plane
Corpus Corpus 1
Exploiter une décomposition de?vecteur

FB_Bac_99063_Mat1_S_025

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Rappels de cours

Décomposition d’un vecteur

? Soient et deux vecteurs non colinéaires du plan.

Tout vecteur se décompose de manière unique sous la forme?:

et sont les coordonnées du vecteur dans la base .


 

? Soient , et trois points non alignés du plan.

Pour tout point du plan, il existe un unique couple de réels tel que . et sont les coordonnées du vecteur (et du point ) dans le repère .

Méthodes

Déterminer les coordonnées d’un vecteur dans une base

Dans un repère du plan, on donne , et . Montrer que les vecteurs et ne sont pas colinéaires, puis déterminer l’expression de dans la base .

Conseils

Exprimez sous la forme et établissez un système de deux équations pour déterminer les valeurs de et .

Solution
  • donc les vecteurs et ne sont pas colinéaires. (>Fiche23)
  • Déterminons les réels et tels que .

Ainsi, .

Choisir un repère pour démontrer un parallélisme

Soit un triangle et les points et définis par et . En utilisant le repère , démontrer que les droites et sont parallèles.

Conseils

Déterminez les coordonnées des différents points dans le repère proposé et montrez que les vecteurs et sont colinéaires.

Solution
  • est l’origine du repère donc ?;

donc ?;

donc ?;

donc .

  • Cherchons les coordonnées de K?: exprimons en fonction de et ?: on a donc soit encore .

Finalement et .

  • On a et .

À noter?!

Les vecteurs et sont colinéaires, et sont donc parallèles.

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