Expression complexe des translations, notations et homothéties

A Translation

THÉORÈME 1

Soit f l'application z ↦ f(z) = z + b où b est un nombre complexe quelconque fixé.

Soit M l'image de z et soit M′ l'image de f(z) dans le plan complexe.

L'application M ↦ M'ainsi définie est la translation de vecteur $\overrightarrow{w}$ où $\overrightarrow{w}$ est le vecteur image de b.

EXEMPLE

On considère l'application f : $z\mapsto z+1+i$.

D'après le théorème 1, f est associée à la translation de secteur $\overrightarrow{w}$ où $\overrightarrow{w}$ est le vecteur image de 1 + i.

• On a, par exemple, $f\left(i\right)=i+\left(1+i\right)=1+2i$.

• Si A est le point d'affixe i et B le point d'affixe 2 − i, par exemple, l'image de la droite (AB) par la translation de vecteur $\overrightarrow{w}$ est la droite (A′B′) où A′ est le point d'affixe $f\left(i\right)=1+2i$ et B′ le point d'affixe $f\left(2-i\right)=3$.

B Rotation

THÉORÈME 2

Soit f l'application z ↦ f(z) = a z où a = e ^iα est un nombre complexe fixé de module 1.

Soit M l'image de z et soit M′ l'image de f(z) dans le plan complexe orienté.

L'application M ↦ M′ ainsi définie est la rotation de centre l'origine O du repère et d'angle α.

EXEMPLE

On considère l'application f : $z\mapsto {\text{e}}^{i\frac{\pi }{3}}z$.

D'après le théorème 2, f est associée à la rotation de centre l'origine O du repère et d'angle de mesure $\frac{\pi }{3}$.

• Si A est le point d'affixe 2, l'image du point A par la rotation est le point A′ d'affixe $f\left(2\right)=2{\text{ e}}^{i\frac{\pi }{3}}=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$, $f\left(2\right)=2\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1+i\sqrt{3}$.

• Par exemple, l'image du cercle de centre A, de rayon 2, par cette rotation est le cercle de centre A′, de rayon 2.

C Homothétie

THÉORÈME 3

Soit f l'application z ↦ f(z) = a z où a est un nombre réel fixé non nul.

Soit M l'image de z et soit M′ l'image de f(z) dans le plan complexe orienté.

L'application M ↦ M′ ainsi définie est l'homothétie de centre l'origine O du repère et de rapport a.

EXEMPLE

On considère l'application f : $z\mapsto 2z$.

D'après le théorème 3, f est associée à l'homothétie de centre O l'origine du repère et de rapport 2.

• Si A est le point d'affixe 2i, l'image du point A par l'homothétie est le point A′ d'affixe $f\left(2i\right)=4i$. L'image du point B d'affixe 1 + i est le point B′ d'affixe $f\left(1+i\right)=2+2i$.

• L'image de la droite (AB) par cette homothétie est la droite (A′B′)