Factoriser des expressions

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Fiches
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser le calcul littéral


Rappels de cours

1 Factoriser une expression

Factoriser, c’est transformer une somme en produit.

Pour cela, on utilise soit la propriété de distributivité, soit les identités remarquables .

2 Propriété de distributivité

Quels que soient les nombres a, b, c, d, e et f, on a :

a×b+a×c=a×(b+c) 

(ax+b)(cx+d)+(ax+b)(ex+f)

=(ax+b)[(cx+d)+(ex+f)]

Méthodes

Factoriser à l’aide de la propriété de distributivité

Factoriser les expressions suivantes :

A=3x29x

B=(2x+7)23(2x+7)(x+1)

conseils

Pour factoriser A, remarquez que 3x est un facteur commun.

Pour factoriser B, remarquez que (2x+7) est un facteur commun.

Solution

A=3x×x3x×3

Mettons 3x en facteur. Alors A=3x(x3).

B=(2x+7)(2x+7)3(2x+7)(x+1)

Mettons (2x+7) en facteur :

B=(2x+7)[(2x+7)3(x+1)]

B=(2x+7)(2x+7+3x3)

B=(2x+7)(5x+4)

Factoriser à l’aide des identités remarquables

Factoriser les expressions suivantes :

C=9x230x+25

D=64x2121

E=(z+3)2(4+3z)2

F=49x2+(2+3x)(5x+8)

conseils

Pour factoriser l’expression C, utilisez l’identité remarquable :

a22ab+b2=(ab)2.

Pour factoriser les expressions D et E, utilisez l’identité remarquable : a2b2=(a+b)(ab).

Pour factoriser F, utilisez une identité remarquable puis la ­propriété de distributivité.

Solution

C=(3x)22×(3x)×5+52, donc C=(3x5)2.

À noter ! Pour reconnaître les identités remarquables, commencez par repérer les nombres élevés au carré.

D=(8x)2(11)2, donc D=(8x+11)(8x11).

Posons a=z+3 et b=4+3z, alors l’identité remarquable a2b2=(a+b)(ab)permet d’écrire :

E=[(z+3)+(4+3z)][(z+3)(4+3z)]

E=(z+3+4+3z)(z+343z)

E=(2z+7)(4z1).

Posons G=49x2.

On a G=22(3x)2, soit G=(2+3x)(23x) d’après l’identité remarquable a2b2=(a+b)(ab).

Alors : F=(2+3x)(23x)+(2+3x)(5x+8).

F=(2+3x)[(23x)+(5x+8)],

soit    F=(2+3x)(8x+10).

Aide Gardez sous les yeux les différentes identités remarquables (sur une fiche par exemple) lorsque vous essayez de résoudre ces exercices.