Fluctuation d’une fréquence selon les échantillons, probabilités (2de)

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Fiches
Classe(s) : Séries tertiaires - Séries industrielles | Thème(s) : Probabilités

A Exemples de situations aléatoires, issues, événements

Exemples de situations aléatoires

On considère les situations suivantes.

Situation 1 : Une urne contient 70 % de boules rouges et 30 % de boules bleues. On prélève au hasard une boule dans l’urne, on note sa couleur et on la remet dans l’urne.

Situation 2 : On lance un dé cubique et on note le nombre de points figurant sur la face supérieure lorsque le dé s’est immobilisé.

Situation 3 : On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes.

Situation 4 : On joue deux fois à pile ou face avec la même pièce en notant les résultats obtenus.

Pour chacune de ces quatre situations, le résultat ne peut être prévu à l’avance : il s’agit d’expériences ou d’épreuves aléatoires.

Issues d’une expérience aléatoire

Lorsqu’on réalise une expérience aléatoire chaque résultat possible est une issue.

EXEMPLES

Dans la situation 1, il y a deux issues possibles ; dans la situation 2, il y a 6 issues possibles ; dans la situation 3, il y a 32 issues possibles ; dans la situation 4, il y a 4 issues possibles : (pile, pile), (pile, face), (face, pile) (face, face).

Événements

 Un événement est constitué par une ou plusieurs issues d’une expérience aléatoire.

 Un événement élémentaire est constitué par une seule issue.

EXEMPLES

• Dans la situation 1, on peut notre R l’événement : « la boule prélevée est rouge » (R est constitué par une issue). R est un événement élémentaire.

• Dans la situation 2, on peut noter A l’événement : « le résultat est un nombre pair » (A est constitué par 3 issues).

remarque

On peut définir d’autres événements à partir de cette expérience aléatoire, par exemple : « le résultat est impair… est supérieur à 2…».

B Évaluer la probabilité d’un événement à partir d’une fréquence

EXEMPLE

Reprenons la situation 1. Avec un ordinateur, on a simulé successivement 100, 200, 300, 400, 500 réalisations de cette expérience aléatoire. On a obtenu les résultats suivants.

Tableau de 3 lignes, 6 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : Nombre de réalisations de l’expérience; 100; 200; 300; 400; 500; Ligne 2 : Nombre de boules rouges obtenues; 65; 138; 213; 276; 350; Ligne 3 : Fréquence d’apparition d’une boule rouge; 0,65; 0,69; 0,71; 0,69; 0,70;

Lorsque le nombre de réalisations augmente, la fréquence d’apparition d’une boule rouge ­semble se stabiliser autour de 0,70. On dit que la probabilité de l’événement R est 0,70.

Probabilité

Lorsqu’on réalise un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d’un événement se rapproche d’un nombre appelé probabilité.

Notation

On note P(A) la probabilité de l’événement A.

EXEMPLE

P(R) = 0,70 (dans la situation 1).

Dans cet exemple, sachant que l’urne contient 70 % de boules rouges, on peut poser directement : P(R) = 0,7.

Propriétés des probabilités

 Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.

 Un événement impossible est un événement dont la probabilité est nulle.

 Un événement certain est un événement dont la probabilité est égale à 1.

 La somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1.

C Évaluer la probabilité d’un événement dans le cas d’une situation aléatoire simple

Pour les situations aléatoires simples, on peut en général définir facilement la probabilité d’un événement constitué par une issue.

EXEMPLES

• Dans la situation 2, si on lance le dé un très grand nombre de fois, on obtiendrait 1 (ou n’importe lequel des cinq autres résultats possibles) approximativement une fois sur six.

Si on note E1 l’événement : « le résultat est 1 », on dit que la probabilité de E1 est 16. On écrit : P(E1)=16.

Si on simule un très grand nombre de lancers du dé, la fréquence d’apparition de la face 1 se stabilise vers 16.

• Dans la situation 4, notons F l’événement : « le résultat est (face, face) ». Si la pièce n’est pas truquée on peut considérer qu’on a « une chance sur quatre » d’obtenir ce résultat et poser alors : P(F)=14.

D Distribution d’échantillonnage d’une fréquence

Distribution d’échantillonnage d’une fréquence

On considère une population où la fréquence p relative à un caractère est connue. On prélève dans cette population, au hasard, N échantillons de même taille n.

La liste des fréquences f1, f2, …, fn du caractère obtenue pour les N échantillons, constitue une distribution d’échantillonnage de la fréquence étudiée.

EXEMPLE

On reprend la situation 1. On simule le prélèvement avec remise de 40 échantillons de même taille : n = 100.

On a relevé la distribution d’échantillonnage de la fréquence des boules rouges. Voici un extrait des résultats.

Tableau de 2 lignes, 8 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Numéro de l’échantillon; 1; 2; 3; …; 38; 39; 40; Ligne 2 : Fréquence des boules rouges dans l’échantillon : fi; 0,71; 0,70; 0,73; …; 0,65; 0,61; 0,71;

 Par exemple, dans l’échantillon n° 3, il y a 73 boules rouges : 73100=0,73.

 fi désigne la fréquence obtenue pour l’échantillon numéro i ; 1 ≤ i ≤ 40.

Moyenne d’une distribution d’échantillonnage

Lorsque la taille de l’échantillon et le nombre d’échantillons sont assez grands, la moyenne f¯ des fréquences de la distribution est proche de la fréquence p dans la population.

EXEMPLE

Dans l’exemple de la distribution d’échantillonnage ci-dessus, on a obtenu f¯=0,705. C’est proche de la fréquence p = 0,7.

Remarque

Si on augmente la taille n des échantillons, la moyenne des fréquences des échantillons, f¯, se stabilise vers p.

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