La fonction carré a pour courbe une parabole. Elle est caractéristique des fonctions du second degré qui ont la forme particulière d'une cloche ou d'un vase.
I Définition et propriétés
La fonction carré est la fonction définie sur ℝ par :
f(x) = x2
La fonction carré est décroissante sur l'intervalle ]–∞ ; 0] et croissante sur l'intervalle [0 ; +∞[.
En effet, pour tous réels a et b : f(b) – f(a) = b2 – a2 = (b – a)(b + a).
Donc, si a ⩽ b et a et b négatifs, alors b – a ⩾ 0 et b + a ⩽ 0 et par conséquent (b – a)(b + a) ⩽ 0, soit f(b) – f(a) ⩽ 0 et f(a) ⩾ f(b).
Si a ⩽ b et a et b positifs alors (b – a)(b + a) ⩾ 0 et donc f(a) ⩽ f(b).
La fonction carré est paire car pour tout x ∈ ℝ, f(–x) = (–x)2 = x2 = f(x). La courbe représentative de la fonction carré a donc un axe de symétrie, c'est l'axe des ordonnées. Cette courbe s'appelle une parabole.
II Les paraboles x ↦ kx2 où k est une constante
k > 0 Parabole convexe (en forme de vase) | k 0 Parabole concave (en forme de cloche) |
1 Résoudre graphiquement des équations
On se propose de résoudre graphiquement les équations d'inconnue x du type x2 = k, où k est un réel que l'on fixe comme on veut.
1. Dire comment la figure ci-dessus permet d'affirmer que l'équation
x2 = k a deux solutions.
2. Discuter, suivant les valeurs de k, le nombre de solutions de l'équation x2 = k.
conseilS
1. Faites le lien entre a et l'ordonnée du point A, de même pour le point B.
2. Faites varier k sur l'axe des ordonnées.
solution
1. On a f(a) = k ⇔ a2 = k et f(b) = k ⇔ b2 = k. L'équation x2 = k a donc deux solutions qui sont a et b. D'ailleurs, et .
2. • Si k > 0, alors la droite horizontale coupe la parabole en deux points, donc l'équation a deux solutions.
• Si k = 0, alors l'équation n'a qu'une solution, qui est 0.
• Si k 0, l'équation n'a pas de solution.
2 Résoudre graphiquement des inéquations
Quelles inéquations la figure ci-dessous permet-elle de résoudre (k ⩾ 0) ?
conseilS
Faites le lien entre la partie hachurée en bleu et la partie hachurée en rouge.
solution
On a x2 ⩾ k ⇔ x ∈ ]–∞ ; a] ∪ [b ; +∞[. Et x2 > k ⇔ x ∈ ]–∞ ; a[ ∪ ]b ; +∞[.
On peut lire que x2 k ⇔ x ∈ ]a ; b[ et x2 ⩽ k ⇔ x ∈ [a ; b].