Fonction cube

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Classe(s) : 2de | Thème(s) : Fonctions de référence
 

La fonction cube est particulière. Sa courbe, une cubique, a une allure typique, bien différente des droites et des paraboles. Elle est caractérisée par un fort ralentissement de sa croissance sur l’intervalle [–1 ; 1].

I Définition et propriétés

La fonction cube est la fonction définie sur ℝ par :

PB_Bac_05294_Mat2_TT_p241-274_C09_Groupe_Schema_3

f(x) = x3

La fonction cube est croissante sur ℝ (démonstration dans l'encadré "Méthode").

La fonction cube est impaire car, pour tout x ∈ ℝ, f(–x) = (–x)3 = –x3 = –f(x). La courbe représentative de la fonction cube a donc un centre de symétrie qui est l’origine du repère où elle est tracée. Cette courbe s’appelle une cubique.

Le tableau ci-dessous suggère qu’au voisinage de 0 les ordonnées des points de la courbe sont proches de 0. C’est pourquoi au voisinage de l’origine du repère la courbe est très aplatie.

x

–1

–0,8

–0,6

–0,4

–0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

x3

–1

–0,512

–0,216

–0,064

–0,008

0

0,008

0,064

0,216

0,512

1

II Les cubique x kx3 k est une constante

k > 0

chap09_fiche37_i01

 

k < 0

chap09_fiche37_i02

 

Méthode

1 Classer les cubes de deux nombres

On considère deux nombres x et y et on suppose x < y. On veut démontrer qu’alors x3 < y3.

a. Examiner le cas où x et y sont de signes contraires.

conseilS

a. Quel est le signe du cube d’un nombre négatif ?

b. Il suffit de développer le membre à gauche de l’égalité.

c. Quel est le signe du produit de deux nombres de même signe ?

b. Montrer que pour tous réels a et b : (a b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3.

c. En déduire le résultat annoncé quand x et y sont de même signe.

d. Qu’en déduit-on sur les variations de la fonction cube ?

solution

a. Le cube d’un nombre négatif étant négatif et le cube d’un nombre positif étant positif, si on a x < 0 < y alors x3 < 0 < y3 donc x3 < y3.

b. Développons : (a b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 – ba2 ab2 – b3 = a3 b3.

c. Supposons x et y de même signe. Alors le produit xy est positif. Donc x2 + xy + y2 est positif.

Par conséquent, puisque x y est négatif, (x – y)(x2+ xy + y2) est négatif également. Il en résulte que x3 y3 est négatif, donc x3 < y3.

d. On en déduit que la fonction cube est croissante sur ℝ car dans tous les cas x < y  x3 < y3.

 

2 Résolution graphique d’une inéquation

Utiliser les courbes ci-dessous pour résoudre l’inéquation x x3.

chap09_AJOUT01

conseilS

Repérer les intervalles où la droite est au-dessus de la cubique.

solution

Les points d’intersection de la droite et de la cubique ont pour abscisses respectives –1 et 1.

Les nombres x solutions de l’inéquation sont les abscisses des points où la droite est au-dessus de la courbe.

Ce sont les nombres de l’ensemble ]–∞ ; –1] ∪ [0 ; 1], qui est l’ensemble des solutions cherché.

 

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