La fonction cube est particulière. Sa courbe, une cubique, a une allure typique, bien différente des droites et des paraboles. Elle est caractérisée par un fort ralentissement de sa croissance sur l'intervalle [–1 ; 1].
I Définition et propriétés
La fonction cube est la fonction définie sur ℝ par :
f(x) = x3
La fonction cube est croissante sur ℝ (démonstration dans l'encadré "Méthode").
La fonction cube est impaire car, pour tout x ∈ ℝ, f(–x) = (–x)3 = –x3 = –f(x). La courbe représentative de la fonction cube a donc un centre de symétrie qui est l'origine du repère où elle est tracée. Cette courbe s'appelle une cubique.
Le tableau ci-dessous suggère qu'au voisinage de 0 les ordonnées des points de la courbe sont proches de 0. C'est pourquoi au voisinage de l'origine du repère la courbe est très aplatie.
| x | –1 | –0,8 | –0,6 | –0,4 | –0,2 | 0 | 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1 |
| x3 | –1 | –0,512 | –0,216 | –0,064 | –0,008 | 0 | 0,008 | 0,064 | 0,216 | 0,512 | 1 |
II Les cubique x ↦ kx3 où k est une constante
| k > 0
| k 0
|
1 Classer les cubes de deux nombres
On considère deux nombres x et y et on suppose x y. On veut démontrer qu'alors x3 y3.
a. Examiner le cas où x et y sont de signes contraires.
conseilS
a. Quel est le signe du cube d'un nombre négatif ?
b. Il suffit de développer le membre à gauche de l'égalité.
c. Quel est le signe du produit de deux nombres de même signe ?
b. Montrer que pour tous réels a et b : (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3.
c. En déduire le résultat annoncé quand x et y sont de même signe.
d. Qu'en déduit-on sur les variations de la fonction cube ?
solution
a. Le cube d'un nombre négatif étant négatif et le cube d'un nombre positif étant positif, si on a x 0 y alors x3 0 y3 donc x3 y3.
b. Développons : (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 – ba2 – ab2 – b3 = a3 – b3.
c. Supposons x et y de même signe. Alors le produit xy est positif. Donc x2 + xy + y2 est positif.
Par conséquent, puisque x – y est négatif, (x – y)(x2+ xy + y2) est négatif également. Il en résulte que x3 – y3 est négatif, donc x3 y3.
d. On en déduit que la fonction cube est croissante sur ℝ car dans tous les cas x y ⇒ x3 y3.
2 Résolution graphique d'une inéquation
Utiliser les courbes ci-dessous pour résoudre l'inéquation x ⩾ x3.
conseilS
Repérer les intervalles où la droite est au-dessus de la cubique.
solution
Les points d'intersection de la droite et de la cubique ont pour abscisses respectives –1 et 1.
Les nombres x solutions de l'inéquation sont les abscisses des points où la droite est au-dessus de la courbe.
Ce sont les nombres de l'ensemble ]–∞ ; –1] ∪ [0 ; 1], qui est l'ensemble des solutions cherché.