A Définition et notation

PROPRIÉTÉ

Il existe une valeur unique de a pour laquelle la courbe représentative de la fonction $x\mapsto a^x$ a, au point d'abscisse 0, une tangente de coefficient directeur égal à 1.

Cette valeur de a est notée e, $\text{e}\approx \mathrm{2,72}$.

DÉFINITION

La fonction $x\mapsto {\text{e}}^x$ est la fonction exponentielle de base e, souvent appelée plus simplement fonction exponentielle.

B Relations fonctionnelles

La fonction $x\mapsto {\text{e}}^x$ possède les propriétés des fonctions $x\mapsto a^x$.

Pour tous nombres réels a et b, e^a+^b = e^a × e^b ; ${\text{e}}^{\text{–a}}\text{=}\frac{\text{1}}{{\text{e}}^{\text{a}}}$ et ${\text{e}}^{\text{a–b}}\text{=}\frac{{\text{e}}^{\text{a}}}{{\text{e}}^{\text{b}}}$ ;

• Pour tout nombre réel a et tout nombre entier relatif n, ${\left({\text{e}}^a\right)}^n={\text{e}}^{na}$.

C Dérivation

On en déduit la propriété suivante.

PROPRIÉTÉ

Soit a et b des constantes réelles.

La fonction g : $x\mapsto {\text{e}}^{ax+b}$ est dérivable sur ℝ et $g\text{'}\left(x\right)=a{\text{ e}}^{ax+b}$ pour tout x réel.

EXEMPLES

• Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par : $f\left(x\right)={\text{e}}^{\frac{1}{2}x+1}$. Pour tout x de $ℝ$, $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2}{\text{ e}}^{\frac{1}{2}x+1}$.

• Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par : $f\left(t\right)=\left(–t+3\right){\text{e}}^{–t}$.

Pour tout t de $ℝ$. :

$f^{\prime }\left(t\right)=\left(–1\right){\text{e}}^{–t}+\left(–t+3\right)\left(–{\text{e}}^{–t}\right)$,

$f^{\prime }\left(t\right)=\left[\left(–1\right)–\left(–t+3\right)\right]{\text{ e}}^{–t}=\left(–1+t–3\right){\text{ e}}^{–t}=\left(t–4\right){\text{ e}}^{–t}$.

D Limites en − ∞ et en + ∞

Limite en + ∞

En remplissant un tableau de valeurs à l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, on constate que e^x augmente très vite quand x augmente (par exemple : e¹⁰ ≈ 22 026,5).

On démontre, et nous l'admettons, que 10ⁿ étant choisi aussi grand que l'on veut, e^x est supérieur à 10ⁿ dès que x est assez grand. Cette propriété s'énonce :

« la limite de e^x quand x tend vers + ∞ est égale à + ∞. »

Limite en − ∞

D'après la relation e^−x = $\frac{1}{{\text{e}}^x}$, on a e⁻¹⁰ ≈ $\frac{1}{22\mathrm{026,5}}$ ≈ 0,000 05. On constate que quand x « tend vers − ∞ », e^x « tend vers zéro ».

On démontre, et nous l'admettons, que 10⁻ⁿ étant choisi aussi proche de 0 que l'on veut, e^x est compris entre 0 et 10⁻ⁿ dès que le nombre négatif x est assez grand en valeur absolue. Cette propriété s'énonce : « la limite de e^x quand x tend vers − ∞ est égale à 0 ».

Limites des fonctions monômes

Un théorème analogue concerne les fonctions monômes.

E Courbe représentative

Tableau de variation et courbe représentative

Pour tout x de R, e^x>0

Croissance comparée en + ∞

Pour les grandes valeurs de x, l'exponentielle e^x l'emporte sur toute fonction puissance x-->xⁿ$\frac{{}^{}}{}$