Fonction exponentielle de base e

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Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Fonction exponentielle de base e, fonction logarithme népérien

A Définition et notation

PROPRIÉTÉ

Il existe une valeur unique de a pour laquelle la courbe représentative de la fonction xax a, au point d’abscisse 0, une tangente de coefficient directeur égal à 1.

L’étude des fonctions xax figure au paragraphe ➀ du chapitre 2.

Cette valeur de a est notée e, e2,72.

DÉFINITION

La fonction xex est la fonction exponentielle de base e, souvent appelée plus simplement fonction exponentielle.

À l’aide d’une calculatrice, découvrez e1,32, e–0,7.

B Relations fonctionnelles

La fonction xex possède les propriétés des fonctions xax.

Pour tous nombres réels a et b, ea+b = ea × eb ; e–a=1ea et ea–b=eaeb ;

• Pour tout nombre réel a et tout nombre entier relatif n, ean=ena.

C Dérivation

THÉORÈME

La fonction exponentielle f : xex est dérivable sur ℝ et a pour fonction dérivée f′: xex.

La fonction exponentielle (de base e) est égale à sa fonction dérivée.

On en déduit la propriété suivante.

PROPRIÉTÉ

Soit a et b des constantes réelles.

La fonction g : xeax+b est dérivable sur et g'(x)=a eax+b pour tout x réel.

EXEMPLES

• Soit f la fonction définie sur par : fx=e12x+1. Pour tout x de , fx=12 e12x+1.

• Soit f la fonction définie sur par : ft=t+3et.

Pour tout t de . :

ft=1et+t+3et,

ft=1t+3 et=1+t3 et=t4 et

Un résultat de première : uv=uv+uv.

D Limites en et en +

Limite en + ∞

En remplissant un tableau de valeurs à l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur, on constate que ex augmente très vite quand x augmente (par exemple : e10 ≈ 22 026,5).

On démontre, et nous l’admettons, que 10n étant choisi aussi grand que l’on veut, ex est supérieur à 10n dès que x est assez grand. Cette propriété s’énonce :

« la limite de ex quand x tend vers + est égale à +∞. »

Notation

limx+ex=+

Limite en  ∞

D’après la relation ex = 1ex, on a e10122 026,5 ≈ 0,000 05. On constate que quand x « tend vers −∞ », ex « tend vers zéro ».

On démontre, et nous l’admettons, que 10n étant choisi aussi proche de 0 que l’on veut, ex est compris entre 0 et 10n dès que le nombre négatif x est assez grand en valeur absolue. Cette propriété s’énonce : « la limite de ex quand x tend vers est égale à 0 ».

Notation

limxex =0.

Limites des fonctions monômes

Un théorème analogue concerne les fonctions monômes.

THÉORÈME

Pour tout entier naturel non nul n, limx+xn =+. limxxn =+ si n est pair,     si n est impair.

E Courbe représentative

Tableau de variation et courbe représentative

Tableau de 3 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : x; − ∞ + ∞; ; Ligne 2 : f′(x) = ex; +; Ligne 3 : f(x) = ex; + ∞0;

Croissance comparée en + ∞

15843_P2_C5_IM1_stdi

Pour les grandes valeurs de x, l’exponentielle ex l’emporte sur toute fonction puissance xn.

THÉORÈME

Pour tout nombre entier naturel n, limx+ex xn=+ et limx+xnex =0.